Спектрально-корреляционный анализ детерминированных радиотехнических сигналов

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3
Лекция № 3
Спектрально-корреляционный анализ детерминированных радиотехнических сигналов.
Учебные вопросы:
Спектры непериодических сигналов.
Энергетические спектры сигналов.
Корреляционные модели детерминированных сигналов. 

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Литература:

Стр. 21..29; 30..33; 38..47

Используя MathCAD рассчитать и построить энергетические спектры для импульсных сигналов из таблицы 2.1 на стр. 45.
Чётные номера : треугольный (2) и косинусоидальный (3).
Нечётные номера : Прямоугольный (1) и SINC-образный (5).
Используя MathCAD рассчитать и построить энергетические спектры для импульсных сигналов вида:
Чётные номера : пилообразный возрастающий.
Нечётные номера : пилообразный ниспдающий.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Сигналы могут быть одномерными U1(t), и многомерными {UN(t)},

Многомерный (векторный) - сигнал образованный упорядоченным множеством одномерных сигналов V(t) = {U1(t),U2(t),…,UN(t)},
N — размерность сигнала.

Векторное представление сигнала. Понятие базиса, нормы, скалярного произведения сигналов, ортогональности сигналов, ортонормированного базиса сигналов.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Множество сигналов М={s1(t), s2(t),…sn(t)} обладающих определенными свойствами называется пространством сигналов. Структура пространства сигналов определяется алгебраическими и геометрическими свойствами.
Множество сигналов образует Вещественное Линейное Пространство Сигналов L
если справедливы следующие аксиомы:
1.Все сигналы при любом времени t принимают только вещественные значения.
2.Сумма любого числа сигналов данного множества также принадлежит этому множеству, при чем эта сумма подчиняется свойствам: для x =Si(t) y = Sj(t)
x + y = y + x — коммутативность;
x + (y + z) = (x + y )+ z — ассоциативность;
x + ∅ = x , где ∅ — нулевой элемент;
x + (- x) = 0 , где -x — противоположный элемент.
3. Умножение сигнала на скаляр (число) α определяет новый сигнал принадлежащий исходному множеству αsi(t) ∈М.
4. Операция умножения на скаляр подчиняется свойствам:
α(bx)= (αb)x
1x= x
(α+b)x)= αx+bx
α(x+y)= αx+αy

Пространство сигналов

Алгебраическая структура пространства сигналов

Линейное Пространство Сигналов С.
Элементы структурированного пространства в математике называются точками, функциями, векторами.

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Норма сигнала .
Эквивалентом длины вектора для аналоговых и дискретных сигналов является норма
Для вещественного сигнала норма определяется :
Для комплексного сигнала норма определяется :
Норма подчиняется следующим аксиомам:

Геометрическая структура пространства сигналов

Если S — это вектор, то норма – это его длина или расстояние от конца вектора до начала координат.

Энергия сигнала

Пусть s(t) ― напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, тогда s2(t) ― мгновенная мощность, а квадрат нормы ― есть энергия, выделяемая на резисторе за время T.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Метрика пространства сигналов
Для усовершенствовании структуры пространства вводится расстояние между его элементами, которое называют также метрикой.
Каждой паре элементов пространства ставится в соответствие положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами. В качестве расстояния используется функционал d(x,y) = R, называемый метрикой и обладающий следующими свойствами:
d(x,y) ≥ 0 и d(x,y) = 0, только если x = y;
d(x,y) = d(y,x) – cвойство симметрии;
d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) – неравенство треугольника.

Геометрическая структура пространства сигналов

В качестве метрики можно выбрать величину

.

Линейное метрическое пространство с квадратичной нормой обозначается:
Вещественное L2 комплексное С2

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Геометрическая структура пространства сигналов

Скалярное произведение сигналов

Найдем энергию суммы двух сигналов u(t) и v(t).
Если сигналы рассматривать как вектора U и V получим
Где скалярное произведение двух векторов
угол между векторами
Сопоставляя сигналы с векторами в пространстве L2 получим что скалярное произведение двух сигналов

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

то скалярное произведение двух сигналов равно нулю , значит взаимная энергия этих сигналов равна нулю , а такие сигналы - ортогональные.

Свойства скалярного произведения сигналов

Для комплексных сигналов скалярное произведение должно удовлетворять следующим условиям:
(x, y) = (y, x)* , где знак * означает комплексно сопряженную величину;
(αx, y) = α(x, y);
(x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
(x, x) ≥ 0.
Если

Ортогональность двух сигналов

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Спектры периодических сигналов.

Периодическим называют сигнал, мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени – Т
Модель такого сигнала имеет вид
где Т- период повторения, а F=1/T-частота повторения периодического сигнала (ПС)
Основной математический аппарат спектрального анализа таких сигналов –ряд Фурье в базисе гармонических сигналов с кратными частотами.

Формы спектрального представления периодического сигнала

Квадратурная

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Амплитудно–фазовая форма ряда Фурье

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Комплексная форма ряда Фурье

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Комплексная форма ряда Фурье

АЧС –чётная функция частоты (обладает симметрией в области положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечётная функция (обладает центральной симметрией)

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Т- финитные сигналы: а) видеоимпульсы; б) радиоимпульсы

Uр(t) = Uв(t)cos(ωt + φ)

Uв(t) — огибающая радиоимпульса

ω — опорная (несущая) частота

φ — фаза

Вопрос 1. Спектры непериодических сигналов.

В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат рядов Фурье не применим.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала , когда период повторения стремится к бесконечности

Устремим в периодическом сигнале T → ∞ или f1 = 1/T = ω1/2π → 0

спектральная плотность сигнала

где Δω = ω1 = [kω1 – (k – 1)ω1]=2π/T — разность между частотами соседних гармоник

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Прямое и обратное преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье (ОПФ) для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих. Для восстановления сигнала надо знать информацию об АЧС и ФЧС.

Прямое преобразование Фурье (ППФ) – операция анализа сигнала на основе определения его спектральных составляющих.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Физический смысл спектральной плотности сигнала

Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом

Спектральная плотность сигнала является комплексной амплитудой эквивалентной гармоники на соответствующей опорной частоте .
Эквивалентная гармоника есть результат когерентного сложения бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами расположенными в бесконечно малом по частоте диапазоне в районе выбранной (опорной) частоты.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Математический и Физический спектр непериодического сигнала

Сопоставим комплексную и амплитудно фазовую формы ОПФ
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Свойства преобразования Фурье . Теоремы о спектрах.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Теорема сложения спектров гласит: спектр суммы колебаний равен сумме спектров слагаемых колебаний.
Теорема временного сдвига (запаздывания) формулируется следующим образом: при сдвиге колебания во времени (изменении начального момента отсчёта времени) спектральная плотность амплитуд сохраняется постоянной, а спектр фаз изменяется на величину, пропорциональную частоте и времени сдвига с учётом его знака.
Теорема смещения (модуляции): умножение колебания S(t) на

приводит к смещению его спектра на величину ω0.
Теорема об изменении масштаба: растяжение колебания во времени (a>1) влечёт за собой сжатие его частотного спектра и увеличение спектральной плотности амплитуд. Сжатие колебания во времени (a<1) приводит к расширению его частотного спектра и уменьшению спектральной плотности амплитуд.
Теорема о свёртке: свёртка двух колебаний S1(t) и S2(t) соответствует перемножению их спектров.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются его мощность и энергия.
Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):

Вопрос 2. Энергетические модели непериодических сигналов.

Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:

Средняя мощность сигнала s(t) на интервале t2, t1.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Рассмотрим выражение скалярного произведения

в котором f(t)=g(t)=s(t).

Равенства Парсеваля и обобщенная формула Рэлея.

Энергетический спектр сигнала

Распределение энергии в спектре вещественного непериодического сигнала

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Эффективная ширина спектра сигнала

Полоса частот Δωэфф физического спектра сигнала в пределах которой находится основная часть энергии спектральных гармоник (например >90%)

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Вопрос№3. Корреляционные модели детерминированных сигналов

Корреляция – количественная характеристика степени подобия (похожести) двух сигналов.

Корреляционная функция.

Корреляционная функция – зависимость корреляции двух в общем случае комплексных сигналов от временного сдвига τ между ними.

Для сигналов с ограниченной энергией.

Для сигналов с конечной средней мощностью.

Для периодических сигналов .

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Это корреляционная функция двух одинаковых сигналов - самого сигнала s(t) и его копии, задержанной во времени s(t-τ), рассматриваемая как функция времени задержки τ.

Свойства АКФ вещественного сигнала R(τ).

Автокорреляционная функция вещественного сигнала (АКФ).

АКФ определяет взаимную энергию сигнала и его копии, задержанной во времени и измеряется в Джоулях.
АКФ действительная и четная функция сдвига во времени τ : R(τ )=R(- τ ) . График АКФ симметричен .
АКФ достигает максимума при τ=0 и максимальное значение АКФ равно ЭНЕРГИИ сигнала Еs. Поэтому R(0)=Es>R(τ )

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

АКФ R(τ ) и энергетический спектр сигнала
ОДНОЗНАЧНО связаны парой преобразований Фурье.

Связь АКФ сигнала R(τ) с его энергетическим спектром W(ω).

Однозначно восстановить сигнал s(t ) по его АКФ R(τ ) невозможно, так как энергетический спектр G(ω), а значит и АКФ не содержат информацию о фазовом спектре сигнала.

основ связи и радиотехники»

Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) Лекция №3

Это действительная периодическая корреляционная функция , измеряемая единицами средней мощности за период повторения (ВАТТЫ), четная по аргументу τ , максимумы повторяются через период повторения T.

Примеры:

АКФ периодического вещественного сигнала s(t+kT).

АКФ периодического сигнала связана с его линейчатым спектром через ряд Фурье: