Начертательная геометрия

Лекция 1

Солодухин Е.А., 2017

Начертательная геометрия изучает методы построения изображений пространственных объектов на плоскости.

Базовые геометрические элементы начертательной геометрии

Точка – абстрактное математическое понятие. Не имеет измерений - нульмерный объект

Проективное пространство

Условно принято –
параллельные между собой прямые
пересекаются
в бесконечно удаленной точке

Изображение геометрических объектов

В зависимости от функционального назначения, изображения могут быть разделены на одно-

Перспектива

Аксонометрия

Ортогональные проекции

Метод проецирования

А – объект (точка)
SA – проецирующая
прямая

SA ∩ ПК

Для любой точки пространства
SA ∩ Пк = Aк SВ ∩

Варианты метода проецирования

Центральное проецирование

S (центр проецирования) -– реальная точка.

SA ∩ SB ∩

Параллельное проецирование

S (центр проецирования) – несобственная точка
S ≡ S∞
SA

Виды параллельного проецирования

(s^Пк)=∠ φ
∠φ=90º ∨ (s⊥ Пк) ⇒ проецирование прямоугольное

Все проекционные изображения должны обладать свойством обратимости – способностью по изображению

Проекции Ак соответствует любая точка на проецирующей прямой, проходящей через точку

Метод Монжа

П1 ⊥ П2
П1 ∩ П2= (1,2)

П1 – горизонтальная плоскость проекций
П2

Плоскость П2 неподвижна.
Плоскость П1 вращается вокруг линии (1,2) пересечения плоскостей до

Плоскости проекций П1 и П2 совмещены в одну общую плоскость.

Проецирование точки

Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной

Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости однозначно определяют

Проецирование прямой линии

Способы задания прямой на эпюре

l (A,B)(A∈l; B∈l)

l (С,s)(C∈l; l ll

Положение прямой относительно плоскости проекций

Прямая
общего положения

Прямые частного положения

l II Пk
l

l II П1 и l II П2
l ⊥ П1 и l

Прямые уровня

Это прямые параллельные какой-либо одной плоскости проекций

l II Пк

Горизонталь – h Это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций

h II П1
AB

Фронталь – f Это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций

f II П2
AB

Характерная особенность эпюра горизонтали и фронтали в системе двух плоскостей проекций–

Профильная прямая - p

Это прямая параллельная профильной плоскости проекций П3

Проецирующие прямые

Это прямые перпендикулярные какой-либо одной плоскости проекций

l ⊥ Пк

Горизонтально-проецирующая прямая Это прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций

m ⊥ П1 ∧ m

Фронтально-проецирующая прямая Это прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций

m ⊥ П2 ∧ m

Характерная особенность эпюра проецирующей прямой – одна из проекций прямой точка

Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые

m ∩ n = D ⇒
⇒ mk ∩ nk= Dk

m1

Параллельные прямые

m II n ⇒
⇒ mk II nk

m1 II n1
m2 II

Скрещивающиеся прямые

m ⋅ n ⇒ m II n ∧ m ∩

Плоскость

Плоскость - это один из видов поверхности (плоская поверхность).

Три точки
α(А,В,С)

Способы задания плоскости

Две параллельные прямые
δ(m‖n)

Точка и прямая
β(А,b)

Плоская фигура
ε(△АВС)

Две пересекающиеся прямые
γ(a∩b)

U II Пк
U ⊥ Пк

Общее положение

Частное положение

T ⊥ Пк

Г II

Плоскость общего положения

Вывод: Ни одна из проекций плоскости не имеет форму

Плоскости частного положения

Это плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций

Горизонтально-проецирующая

Фронтально-проецирующая

α1 – прямая

β2 – прямая

Проецирующие

Это плоскости параллельные одной из плоскостей проекций

Горизонтальная плоскость

Фронтальная плоскость

Плоскости уровня

β II

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ

Дано: плоскость α(ΔАВС).
Построить: l ⊂ α.
Прямая принадлежит плоскости, если две точки

Дано: плоскость α(ΔАВС).
Построить: l ⊂ α.
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит

Прямые уровня плоскости

Горизонталь плоскости

Дано: Плоскость α(ΔАВС)
Построить: h ⊂ α
h || Π1 ⇒ h2

Фронталь плоскости

Дано: Плоскость α(ΔАВС)
Построить: f ⊂ α
f || Π2 ⇒ f1

ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости

А

А∈l; l⊂α; l (1,2);
(1∈α); (2∈α);
(1∈m); (2∈n)

А∈l; l⊂α; l(1,m); (l ||

Пересечение плоскостей

β ∩ α (∆АВС)= l
β ⊥ П2 ⇒ β 2 –

Пересечение прямой линии с плоскостью

Если l ∩ m, то l ⊂ T и m