Динамические модели с бесконечным плановым периодом

В большинстве рассмотренных выше моделей:
будущее, находящееся за пределами заранее установленного

Далее рассматриваются модели, в которых длительность планового периода предполагается бесконечной.
Для получения

В реальной действительности стационарность редко сохраняется в течение длительных периодов
возникает

1. Использование динамических оптимизационных моделей для улучшения текущих оперативных решений (например,

2. Использование динамических оптимизационных моделей при принятии повторяющихся решений о распределении

Проблема выбора оптимального решения при бесконечном плановом периоде

Конечный плановый период:
в начале

Если одна стратегия обеспечивает бóльший эффект, чем другая, для любой фиксированной

Пример.
Требуется выбрать одну из стратегий, характеризующихся следующими значениями локального дохода (прибыли)

Разумно сразу исключить вариант F, т. к. стратегия А для каждого

Прибыль для отрезка 1 в случае варианта G превышает прибыль всех

Утверждать, что один из вариантов А, В, С, D или G

Критерии качества стратегий

Средняя величина дохода за отрезок.
На практике этот

Эквивалентный средний доход.
При использовании этого критерия часто удается определить вид

Критерий среднего дохода за отрезок

Допущение: для ЛПР имеет одинаковое значение получение

Рассмотрим стратегии из предыдущего примера.
Стратегия А:
при n = 1 средний

Можно вывести формулы для общих членов последовательностей средних доходов за отрезок.
Стратегия

Стратегия В:
при n = 2k + 1, k =

Стратегия С:
при n = 3k + 1, k =

Стратегия D:
при любых n = 1, 2, …

Стратегия G:
при n = 3k + 1, k =

Итог:
для стратегий А, В, С и D величина среднего дохода за

Очевидный недостаток критерия среднего дохода за отрезок: полная нечувствительность этого критерия

Другой недостаток:
этот критерий неприменим, если при бесконечном возрастании числа отрезков бесконечно

Критерий интегрального дисконтированного дохода

Подход к соизмерению бесконечных последовательностей:
вычисление так называемых

Пусть последовательность значений дохода имеет вид
R1, R2, R3, … , Rn,

Обоснование допущения – учет внешних условий.
Пример.
Пусть предприятие может как брать взаймы,

При данном подходе предполагается: полезность денежных поступлений и затрат в разные

В пользу критерия интегрального дисконтированного дохода – то обстоятельство, что доход

Вопрос: всегда ли является конечной сумма бесконечного числа слагаемых в формуле

Пример.
Вычислим ИДД для стратегий из предыдущего примера, предполагая, что 0 ≤

Для стратегии С:
Для стратегии D:
Для стратегии G:

Сопоставление стратегий:
ИДД(А) – ИДД(В) =
ИДД(А) > ИДД(В);
стратегию В можно исключить

ИДД(А) – ИДД(С) =
ИДД(А) > ИДД(С);
стратегию С можно исключить как

ИДД(А) – ИДД(D) =
ИДД(А) > ИДД(D);
стратегию D можно исключить как

ИДД(А) – ИДД(G) =
при стратегия А более предпочтительна, чем G;
при

Если процентная ставка очень высока (значение α мало), то получение при

При дисконтировании могут разрешиться проблемы, возникающие в ряде случаев при применении

Критерий эквивалентного среднего дохода

Это подход, связывающий понятия средних и дисконтированных значений.
Основан

Пусть ИДД для стратегии X при некотором фиксированном значении α составляет

При любом фиксированном значении α, 0 ≤ α < 1, использование

Пример.
Вычислим ЭСД для стратегий из предыдущего примера.

Важно:
во всех случаях, когда средний доход за отрезок определен (предел конечен),

С точки зрения критерия эквивалентного среднего дохода при α = 1

Из
ИДД(А) – ИДД(В) =
ИДД(А) – ИДД(С) =
ИДД(А) –

При значении α, близком к 1, дисконтированный доход для варианта А

Выводы о выборе критерия оптимальности в динамических моделях:
метод соизмерения последовательностей значений

Модель восстановления с бесконечным числом этапов

Типичный пример модели восстановления – задача

Пусть
момент восстановления можно выбирать из N альтернативных вариантов, которым присвоены

Конечный плановый период.
Обозначим:
fn – интегральные дисконтированные затраты для оптимальной стратегии восстановления,

За n отрезков до конца планового периода
при n ≥ N

Сеть, изображающая рекуррентное соотношение (4.3) при α = 1, n =

Иллюстрация.
В частности, если для всех плановых периодов длительностью n отрезков значение

Бесконечный плановый период.
Каждый раз, когда наступает очередной момент восстановления, принятие решения

В отношении экстремальных уравнений ставятся вопросы:
имеется ли у данного уравнения конечное

Уравнение (4.4) равносильно условию
f ≤ αkf + Rk ,
или, при α

Уравнение (4.4) при α ≠ 1 имеет однозначное конечное решение, равное
Оптимальная

При α = 1 уравнение (4.4) неприменимо по следующей причине:
если допустить,

Если в уравнении (4.4) заменить f на эквивалентный средний доход
g =

Одно из возможных направлений использования соотношения (4.8) – стационарная модель управления

Выпуклые и вогнутые функции

Функция g(x), определенная при целочисленных значениях х, называется

Если g(x) – общая сумма затрат, то
функция затрат будет выпуклой,

Выпуклые функции затрат
Вогнутые функции затрат

Примеры.
Пусть g(x) = a∙x + b.
Тогда
Вывод: линейная функция для любых х

Пусть g(x) = a∙x2 + b.
Тогда
Вывод: данная функция для любых х

Пусть
где b ≥ 0.
Результаты примера 1):
при х > 1 функция

Пусть
Показать самостоятельно:
функция является
выпуклой при а1 ≤ а2 ≤ а3 ,
вогнутой

Пусть функции затрат на производство продукции и содержание запасов являются стационарными

Предположим
спрос является стационарным: Dt = D для всех t,
спрос должен

Предположим:
такой же характер решения сохраняется и для бесконечного планового периода.

Rk – сумма затрат на переналадку (размещение заказа), производство (закупку) продукции

Минимизация:
Вывод:
критическая точка является точкой минимума функции Rk/k.

Итог:
Выражение (4.10), определяющее оптимальное значение Q, называется формулой экономически выгодного размера

Замечание.
Формулы (4.9) и (4.10) являются приближенными, т. к. получаемые величины в

В рассуждениях выше предполагалось, что пополнение запаса происходит мгновенно в момент

При l < k (время выполнения заказа меньше продолжительности периода восстановления)

При l > k (время выполнения заказа больше продолжительности периода восстановления)

Пример.
Неоновые лампы в университетском городке заменяются с интенсивностью 100 штук в

По условию D = 100 шт./день,
s = $100,
h = $0,02,
l =

эффективный срок выполнения заказа
дня;
момент восстановления имеет место при уровне запаса