Содержание
- 2. Содержание Введение. Базовые понятия Аттракторы Хаос Гомоклинические структуры Дикие гиперболические множества Гиперболические и другие аттракторы Приложения
- 3. 1. Введение Исследование устойчивости, изучение роли инвариантных многообразий, анализ геометрической структуры траекторий, поиск инвариантных мер, расчет
- 4. Предмет качественной теории – сосредоточенные системы, где
- 5. Таким образом, можно предложить геометрический подход ввести преобразование сдвига, или фазовый поток, Эта функция определена для
- 6. Поток при имеет взаимно обратную функцию той же гладкости . система обратима во времени Если t
- 7. Говорят, что свойство динамической системы яв-ляется грубым (или структурно устойчивым), если при малых возмущениях системы оно
- 8. Диссипация фазовый объем сжимается При t→∞ фазовый объем стремится к нулю. Это предельное множество называется аттрактором.
- 9. Рассмотрим маятник в среде: Это положение словно бы «притягивает» маятник из почти любого начального состояния.
- 10. Формально это означает следующее: U называется областью притяжения аттрактора A. F t
- 11. Рассмотрим систему: Точки , в которых , называются положениями равновесия или стационарными точками. неустойчивое устойчивое
- 12. 1 – действительные и одного знака узел устойчивый неустойчивый Пример
- 13. 2 – действительные и разных знаков седло 3 фокус неустойчивый устойчивый Пример
- 14. 4 – чисто мнимые центр
- 15. седло-узел неустойчивое многообразие устойчивое многообразие W s W u седло-фокус неустойчивое многообразие устойчивое многообразие W s
- 16. Более сложные аттракторы: Маятник с возмущением в среде
- 17. Седловой цикл: W s и W u – называются устойчивым и неустойчивым многообразиями седлового предельного цикла,
- 18. В отображении Пуанкаре такой цикл отвечает седлу:
- 19. Устойчивый узел Устойчивый фокус Аттракторы: Устойчивый предельный цикл Устойчивый тор
- 20. 3. Хаос Пусть M – метрическое пространство. Система F t: M → M называется хаотической, если
- 21. Гиперболические множества Такие множества служат хорошим примером для понимания «устройства» хаотических систем.
- 22. W s W u γ Теорема о локальных многообразиях (Адамара-Перрона): у гиперболической траектории существуют локальное устойчивое
- 23. Если вдоль траектории γ оценки ухудшаются, т.е. степень сжатия и растяжения в подпространствах Eu и Es
- 24. Подкова Смейла
- 25. Точки p, которые всегда остаются в S, образуют канторово множество. Это – подкова Смейла: Множество Ω
- 26. 4. Гомоклинические структуры Пусть система имеет седловой цикл с устойчивым и неустойчивым многообразиями: γ W u
- 29. Гомоклиническое касание
- 30. Такие траектории обладают тем свойством, что Поэтому гомоклинические траектории называются двоякоасимптотическими.
- 31. Из наличия одной гомоклинической траектории следует существование бесконечного их числа: В исходном пространстве В сечении Траектория
- 32. Рождение подков Рассмотрим малую окрестность U гиперболической точки H: U Следствие. Наличие гомоклинической точки влечет положительность
- 33. Системы с гомоклиническими петлями негрубые. Поэтому при возмущениях петли расщепляются, что может приводить к рождению очень
- 34. U – окрестность точки O: W s делит U на U+ и Для достаточно малого U+
- 35. Отображение преобразует область в «толстую спираль» , т.е. .
- 36. Таким образом, горизонтальные полосы на D отображают-ся на полосы, лежащие внутри двух принадлежащих S1 спи-ралей, закручивающихся
- 37. Существует диффеоморфизм и
- 38. Таким образом, получим следующую картину: подкова Смейла Ω
- 39. 5. Дикие гиперболи-ческие множества Системы с касаниями W s и W u плотны в пространстве динамических
- 40. В зависимости от геометрии, в системе возможны только три различных типа гомоклинических касаний. Для каждого из
- 41. II тип Множество Δ траекторий в малой окрестности негрубой кривой Γ0 в системах такого типа имеет
- 42. III тип Множество Δ содержит нетривиальные гиперболические подмножества и, следовательно, системы такого типа обладают хаотической динамикой.
- 43. Этот результат поясняет следующее построение: Действие отображения f приводит к тому, что для некоторого k точка
- 44. При возмущении f(x,a) касания исчезают или появляются пересечения многообразий
- 45. Допустим, что устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание: При возмущении такой структуры наблюдаются эффекты, связанные
- 46. Теореме Ньюхауса: для общих семейств диффео-морфизмов f(x,a) существуют интервалы, где плотны значения параметра a, при которых
- 47. Таким образом, для гиперболического инвариантного множества Λ, которое задается диффеоморфизмом f(x,a), устойчивое и неустойчивое многообразия представляют
- 50. Сложность динамики систем с гомоклиническими касаниями В областях Нюьхауса плотны системы, имеющие бесконечно много устойчивых циклов.
- 51. При гладких возмущениях систем с гомоклиническими касаниями могут рождаться циклы произвольно высоких порядков вырождения.
- 52. 6. Гипреболические и другие аттракторы Аттрактор динамической системы называется странным, если он отличен от конечного объединения
- 53. Странные аттракторы обладают некоторой степенью гиперболичности, однако эта гиперболичность имеет иную форму, нежели равномерная гиперболичность. Такие
- 54. Обычно считается, что динамическая система обладает странным аттрактором, если в ее фазовом пространстве имеется предельное множество,
- 55. Структурно устойчивое (грубое) множество Гиперболический аттрактор Смейла-Вильямса
- 56. Гиперболический аттрактор Плыкина
- 57. Адекватным математическим образом наблюдаемого разви-того хаотического поведения физической системы может слу-жить предложенный Я.Г.Синаем стохастический аттра-ктор. При
- 58. 7. Приложения Бильярды – неравномерно гиперболические системы:
- 59. Система Дуффинга. В такой системе существуют подковы Смейла.
- 60. Небесная механика. Здесь тоже существуют подковы Смейла.
- 61. Нелинейный маятник. Здесь наблюдаются гомо- и гетероклинические структуры. фазовое пространство
- 62. Основные достижения теории хаотических динамических систем: доказано, что даже очень простые системы могут проявлять случайные свойства;
- 64. Скачать презентацию