Механическая работа и энергия

План лекции 4.1. Механическая работа и мощность. 4.2. Консервативные и неконсервативные силы.

4.1. Механическая работа

Опыт показывает, что различные формы движения материи способны

Установлено, что все взаимные превращения различных форм движения материи происходят в

В механике принято говорить, что работа совершается силой, поскольку наличие силы,

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки

Выразим элементарное перемещение через мгновенную скорость :
Тогда
Интегрируя по времени, получим

Распишем скалярное произведение
И учтём, что .
Тогда элементарная работа силы

Обозначим проекцию силы на направление движения:
В ряде случаев приведенные интегралы

Работа силы тяжести:
2. Работа силы реакции опоры:
3. Работа силы трения:
4. Работа

Графическое изображение работы
Если FS = const , то графиком FS будет

Если FS ≠ const, то графиком FS будет некоторая кривая.
Элементарная

Работа силы тяжести
Пусть материальная точка с массой m переместилась по произвольной

Вычислим работу силы тяжести mg на перемещении
Сделаем дальнейшие преобразования:

– проекция вектора перемещения на направление вектора силы тяжести.
Из

Работа гравитационной силы
Работа гравитационной силы вычисляется при вычислении интеграла
при подстановки формулы

Работа силы упругости
Пусть пружина деформирована.
х – абсолютное удлинение, k – жесткость

Вычислим интеграл.
Работа упругой силы не зависит от того как произошло

Работу упругой силы можно вычислить графически как площадь треугольника.

Мощность:
характеризует быстроту совершения работы;
равна работе, совершаемой за единицу времени;
- величина

Средняя мощность за промежуток времени равна работе силы, совершённой за единицу

Учитывая, что
получим
Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы на скорость.

4.2. Консервативные и неконсервативные силы

Консервативными называются силы,
работа которых:
- не зависит

Искомые работы соответственно равны
и
Будем считать, что сила mg одинакова во

Получили, что , двигаясь из положения 1 в положение 2

Неконсервативной называется сила, работа которой зависит от формы пути, по

Искомые значения работ соответственно равны:
Направление силы трения в процессе перемещения тела

Так как , то и

Неконсервативными являются:
сила трения
магнитные силы Ампера и Лоренца
сила давления
Потенциальным называется силовое поле,

4.3. Полная механическая энергия

Способность различных форм движения к взаимным превращениям

Полная механическая энергия является однозначной, непрерывной, конечной, дифференцируемой функцией механического состояния

Материальные объекты:
- могут участвовать в разных взаимодействиях;
могут участвовать в различных

Полная механическая энергия
Механическое состояние объекта характеризуется двумя параметрами – радиус-векторами материальных

Полная механическая энергия равна сумме кинетической энергии взаимодействия частей тела и

4.4. Кинетическая энергия и её связь с работой

Пусть на материальную точку

Преобразуем это выражение:
Найдем скалярное произведение вектора скорости на его приращение .

Полная работа, совершаемая силой при изменении скорости точки от v1 до

2) не зависит от способов, посредством которых было достигнуто данное изменение

Таким образом, кинетическая энергия:
функция механического состояния;
- зависит от массы

Кинетическая энергия при вращательном движении
Найдем работу, совершаемую внешней силой при повороте

Элементарная работа силы , действующей на тело, равна
α – угол между

Элементарная работа силы при вращательном движении равна скалярному произведению момента

Кинетическая энергия при вращательном движении
Запишем .
Но ранее показано, что , где

Как показано ранее, работа всех действующих на тело сил, равна изменению

Кинетическая энергия, которой обладает тело, складывается из кинетических энергий отдельных его

Так как v = ω r ,
то .
Кинетическая энергия всего

выражение – есть момент инерции тела
Тогда для кинетической энергии вращательного

Если тело одновременно движется поступательно и вращается вокруг оси, проходящей через

Свойства кинетической энергии
Кинетическая энергия – однозначная, конечная, непрерывная, дифференцируемая функция механического

4. Изменение кинетической энергии равно работе всех действующих на тело сил

4.6. Потенциальная энергия и её связь с работой

Потенциальная энергия – это

Потенциальная энергия гравитации определяется по формуле:
- расстояние между центрами тяжести тел.
Знак

Свойства потенциальной энергии
1. Потенциальная энергия – однозначная, конечная, непрерывная, дифференцируемая функция

4. Потенциальная энергия может иметь как положительное, так и отрицательное значение.
5.

4.7. Связь потенциальной энергии с консервативной силой

Между потенциальной энергией материальной

Если материальная точка переместилась в потенциальном поле в произвольном направлении r,

Приравнивая правые части, получим
Проекция консервативной силы на произвольное направление r равна

Полученное соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности, для

Учтём, что вектор силы можно записать как:
– орты координатных осей X,

Вектор, стоящий в правой части этого выражения, называется градиентом функции потенциальной

Две формулы в равной мере выражают связь консервативной силы с потенциальной