Обернені задачі моделювання. Моделювання фізичних процесів

кафедра медичної радіофізики

Практичні задачі моделювання

Є модель, є вхідні дані, є вихідні

кафедра медичної радіофізики

Де таке виникає?

Томографічна реконструкція
Спектроскопія
Надрозрізнення
Непрямі вимірювання
Локація
…

кафедра медичної радіофізики

Нехай є математична модель

кафедра медичної радіофізики

Пряма задача

Пряма задача моделювання – знайти значення характеристики при

кафедра медичної радіофізики

Пряма задача термодеструкції

кафедра медичної радіофізики

Пряма задача переносу рентгенівського випромінювання

кафедра медичної радіофізики

Не прямі задачі

Обернена задача
Задача синтезу
Задача оптимізації

кафедра медичної радіофізики

Обернена задача

Знайти вхідні параметри, при яких досягаються задані вихідні

кафедра медичної радіофізики

Обернена задача

Знайти функцію джерела термодетрукції, яка задає заданий розподіл

кафедра медичної радіофізики

Задача синтезу

Знайти модель, яка для заданих вхідних значень дає

кафедра медичної радіофізики

Задача синтезу для переносу рентгенівського випромінювання

Знайти яка повинна бути

кафедра медичної радіофізики

Задача синтезу для ЯМР томографії

Знайти розподіл магнітного поля (імпульсну

кафедра медичної радіофізики

Задача оптимізації

Знайти всі параметри, при яких заданий цільовий функціонал

кафедра медичної радіофізики

Оптимізація

При яких параметрах задачі, що реалізуються на практиці, розподіл

кафедра медичної радіофізики

Особливості не прямих задач

Може не існувати розв’язку
Може існувати багато

кафедра медичної радіофізики

Цікавий факт

Прямі задачі та задачі оптимізації найчастіше розв’язуються так,

кафедра медичної радіофізики

Приклади нестійких задач

Часто задача має розв’язок, але нестійка до

кафедра медичної радіофізики

Задача спектроскопії

кафедра медичної радіофізики

Чому ця задача нестійка?

кафедра медичної радіофізики

Які ще задачі нестійкі?

Інтегральні рівняння першого роду
Системи лінійних рівнянь

кафедра медичної радіофізики

Коректно та некоректно поставлені задачі

Задача називається коректно поставленою (за

кафедра медичної радіофізики

Страшна проблема

Питання: що робити, якщо виникла некоректна задача, яка

кафедра медичної радіофізики

Розв’язання некоректних задач

Звести задачу до коректно поставленої, розв’язок якої

кафедра медичної радіофізики

Співставлення за точністю

Зміна задачі змінює розв’язок
Реальні вхідні дані

кафедра медичної радіофізики

Деякі методи для задач оптимізації (коректних)

Зворотне керування
Лінійне та нелінійне

кафедра медичної радіофізики

Градієнтний спуск

кафедра медичної радіофізики

Деякі методи для зворотних задач, задач синтезу та інших

кафедра медичної радіофізики

Регуляризація за Тихоновим

Теорема Тихонова
Якщо розв’язок заданий на компакті (обмежена,

кафедра медичної радіофізики

Регуляризація за Тихоновим

Задача змінюється так, щоб розв’язок був заданий

кафедра медичної радіофізики

Приклади регуляризації за Тихоновим

Метод підбору
Метод квазі (псевдо) розв’язку
Псевдо-обернена матриця

кафедра медичної радіофізики

Метод підбору

кафедра медичної радіофізики

Метод псевдорозв’язку

кафедра медичної радіофізики

Псевдо-обернена матриця Мура Пенроуза

кафедра медичної радіофізики

Метод заміни рівняння близьким до нього

кафедра медичної радіофізики

Метод урізаного сингулярного розвинення (метод головних компонент)

Потужний метод для

кафедра медичної радіофізики

Метод Лагранжа

Задача замінюється варіаційної

кафедра медичної радіофізики

Нормальний розв’язок системи лінійних рівнянь

кафедра медичної радіофізики

Метод ітерацій

кафедра медичної радіофізики

Метод параметричної регресії

Створюється проста модель з невідомими параметрами
Параметри підбираються

кафедра медичної радіофізики

Задача

При томографії твердого тіла час поперечної релаксації дуже малий
Чи

кафедра медичної радіофізики

Реконструкція спінової густини і часу поперечної релаксації за сигналом

кафедра медичної радіофізики

Дискретизація задачі

Час і просторові координати замінюємо дискретним набором параметрів

За

кафедра медичної радіофізики

Розв’язок

Рівняння замінюємо варіаційною задачею на екстремум

Знайти ρ та z

кафедра медичної радіофізики

Метод Проні

Прямий розв’язок варіаційної задачі складний, оскільки рівняння нелінійні
Треба

кафедра медичної радіофізики

Метод Проні

кафедра медичної радіофізики

Результати

кафедра медичної радіофізики

Результати

кафедра медичної радіофізики

Висновки

Зворотні задачі та задачі синтезу – некоректні
Для розв’язку таких