Основы молекулярно-кинетической теории

Август 4, 2022

Главная
Физика
Основы молекулярно-кинетической теории

Содержание

2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов Получим уравнение состояния идеального газа, исходя из молекулярно-кинетических представлений. Рассмотрим
3. Если n – концентрация молекул в газе, то число молекул в цилиндре равно nΔSvΔt, а импульс,
4. здесь - средний квадрат модуля скорости, равный где N – число молекул внутри сосуда, vi –
5. Здесь - среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул. Формула (10.3.1) раскрывает физический смысл давления –
6. Элементы теории вероятностей При статистическом описании свойств термодинамических систем используются понятия теории вероятностей. Рассмотрим некоторые положения
7. Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что в нем обнаруживаются два значения xi и xk в
8. Зная результаты измерений случайной величины можно найти ее среднее значение (10.4.4) Пусть теперь случайная величина x
9. Построим график функции f(x). Он представляет собой ступенчатую кривую, называемую гистограммой. Величина площади некоторого прямоугольника равна
10. Полная вероятность нахождения случайной величины должна равняться 1. Ей отвечает площадь под всей кривой f(x), отсюда
11. Рассмотрим идеальный газ. В результате соударений его молекулы находятся в хаотическом движении и беспрерывно меняют направление
12. Обозначим плотность точек через f(v) - она равна вероятности того, что модуль скорости молекулы равен значению
13. Малый объем dvxdvydvz находится между сферами с радиусами v и v+dv. Объем сферического слоя равен 4πv2dv,
14. Разделив dP(v) на dv, находим dP(v)/dv = f(v)4πv2 = F(v) (10.5.3) Функция F(v) - дает вероятность
15. Кроме того, проекции скоростей vх, vy, vz являются статистически независимыми друг от друга событиями. Поэтому по
16. Возьмем частные производные от последнего выражения. Сначала продифференцируем по vх поскольку то В последнем выражении слева
17. Обозначая эту константу через - α , получаем Данное соотношение является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрируем
18. Аналогичные выкладки дают выражения для других функций Поэтому
19. Константу интегрирования С найдем из условия нормировки
20. Константу α найдем из расчета средних значений квадратов проекций скорости Такие же значения имеют и ,
21. Но ранее, (10.3.2) было получено поэтому Подставляя α в функцию , а последнюю в , получаем
22. Построим график функции распределения Максвелла для разных температур. Максимум кривой отвечает наиболее вероятной скорости молекул (10.5.6)
23. Определим среднеквадратичную скорость молекулы (10.5.7) и среднюю скорость молекулы (10.5.8) Между этими тремя скоростями имеет место
24. Согласно (10.5.2) и (10.5.3) число молекул в сферическом слое с радиусом v и толщиной dv равно
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Основное уравнение молекулярно-кинетической
теории идеальных газов
Получим уравнение состояния

идеального газа, исходя из молекулярно-кинетических представлений.
Рассмотрим газ, находящийся в некотором сосуде. Будем считать, что соударения молекул газа со стенками сосуда абсолютно упругие. Найдем давление, оказываемое газом на стенки сосуда.
Выделим на стенке сосуда площадку ΔS.
Каждая молекула, движущаяся перпендикулярно
к площадке, при соударении передает ей
импульс, равный
где m0 – масса молекулы, v – ее скорость.
За время Δt площадку достигнут
молекулы,находящиеся внутри цилиндра с
основанием ΔS и высотой vΔt.

Слайд 3

Если n – концентрация молекул в газе, то число молекул

в цилиндре равно nΔSvΔt, а импульс, переданный ими площадке ΔS за время Δt, равен
Δp = 2nm0ΔSv2Δt
В действительности, разные молекулы движутся с разными по величине и направлениями скоростями к площадке ΔS. Это хаотическое движение можно приближенно заменить равновероятным движением молекул вдоль положительных и отрицательных направлений осей x, y, z.
В одну сторону – в сторону площадки движется 1/6 часть от всех молекул. Переданный ими средний импульс площадке ΔS равен

Слайд 4

здесь - средний квадрат модуля скорости, равный
где N – число молекул

внутри сосуда, vi – скорости отдельных молекул.
Разделив средний импульс на время Δt , получим силу, с которой газ давит на площадку ΔS
В свою очередь, разделив силу F на площадь ΔS, получим давление газа на стенки сосуда
(10.3.1)
основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Слайд 5

Здесь - среднее значение кинетической
энергии поступательного движения молекул.
Формула

(10.3.1) раскрывает физический смысл давления – оно определяется средним значением кинетической энергии молекул.
Сравнивая формулу (10.3.1) с формулой (10.2.4), получаем
(10.3.2)
Следовательно, температура является мерой средней кинетической энергии молекул.

Слайд 6

Элементы теории вероятностей
При статистическом описании свойств термодинамических систем используются понятия

теории вероятностей. Рассмотрим некоторые положения этой теории.
Случайными называются события, условия наступления которых неизвестны, и которые поэтому нельзя с определенностью предсказать.
Пусть случайная величина принимает дискретный набор значений x1, x2, x3, …, xn. Выполним N измерений. Если из этого числа измерений значение xi было обнаружено Ni раз, то вероятностью события xi называют величину
(10.4.1)
Поскольку то

Слайд 7

Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что в нем обнаруживаются два

значения xi и xk в два разных момента. Вероятность получить результат xi либо xk равна
(10.4.2)
Это равенство выражает собой теорему сложения вероятностей – вероятности несовместимых событий складываются.
Если две случайные величины x и y могут быть определены одновременно, так что измерение величины x не влияет на результат измерения величины y, то вероятность обнаружения двух событий равна
(10.4.3)
Это теорема об умножении вероятностей – вероятность появления двух независимых друг от друга событий равна произведению вероятностей этих событий.

Слайд 8

Зная результаты измерений случайной величины можно найти ее среднее значение

(10.4.4)
Пусть теперь случайная величина x принимает непрерывный ряд значений. Разобьем область ее изменения на малые интервалы Δх. Выполним N измерений. Обозначим через ΔN(х) – число попаданий величины x в некоторый интервал x ÷ x + Δх. Тогда вероятность обнаружения случайной величины в данном интервале равна
Составим отношение этой вероятности к ширине интервала
(10.4.5)

Слайд 9

Построим график функции f(x). Он представляет собой ступенчатую кривую, называемую гистограммой.

Величина площади некоторого
прямоугольника
равна вероятности обнаружения
случайной величины в интервале
x ÷ x+ Δх.
В пределе Δх → 0 гистограмма
превращается в гладкую кривую f(x),
которая называется функцией распределения вероятностей.
Из определения (10.4.5) следует, что f(x) - есть вероятность нахождения случайной величины в единичном интервале, поэтому f(x) является плотностью вероятности.

Слайд 10

Полная вероятность нахождения случайной величины должна равняться 1. Ей отвечает площадь

под всей кривой f(x), отсюда
получаем условие нормировки f(x)
Зная функцию распределения вероятностей f(x), можно найти
среднее значение непрерывной случайной величины
(10.4.6)
Аналогично находится среднее значение произвольной функции А(x) от случайной величины x
(10.4.7)

Слайд 11

Рассмотрим идеальный газ. В результате соударений его молекулы находятся в хаотическом

движении и беспрерывно меняют направление своих скоростей.
Однако в состоянии равновесия в любом направлении движется одинаковое число молекул и устанавливается стационарное распределение молекул
по скоростям (Максвелл , 1859 г.).
Введем пространство скоростей,
в котором каждой молекуле отвечает
своя точка. В состоянии равновесия
плотность точек в таком пространстве
зависит только от модуля скорости
и не меняется во времени.
Поэтому она является сферически
симметричной функцией.

Распределение Максвелла

Слайд 12

Обозначим плотность точек через f(v) - она равна вероятности того, что

модуль скорости молекулы равен значению v в единичном объеме пространства скоростей около v.
Если N – полное число молекул в газе, то число молекул, имеющих модуль скорости v в единичном объеме пространства скоростей, равно Nf(v).
Выделим малый объем dvxdvydvz вблизи конца вектора скорости . Число молекул, скорости которых находятся внутри этого объема, равно dN(vx,vy,vz ) = Nf(v)dvxdvydvz . Разделив его на полное число молекул N, получим вероятность обнаружения проекций скоростей молекул в интервалах vх ÷ vх + dvх;
vy ÷ vy + dvy; vz ÷ vz + dvz
dP(vх, vy, vz) = dN(vх, vy, vz)/N = f(v)dvxdvydvz (10.5.1)

Слайд 13

Малый объем dvxdvydvz находится между сферами с радиусами v и v+dv.

Объем сферического слоя равен 4πv2dv, а число молекул в нем равно
dN´(v) = Nf(v)4πv2dv
Разделив dN´(v) на полное число молекул газа N, получим вероятность того, что модуль скорости молекулы имеет значение в интервале v ÷ v + dv
dN´(v)/N = f(v)4πv2dv = dP(v)

Слайд 14

Разделив dP(v) на dv, находим
dP(v)/dv = f(v)4πv2 = F(v) (10.5.3)
Функция

F(v) - дает вероятность того, что модуль скорости молекулы равен v в единичном интервале скоростей около v. Поэтому F(v) - и есть функция распределения молекул по скоростям. Найдем ее конкретный вид.
Для этого введем в рассмотрение вероятности того, что молекула имеет проекции скоростей в интервалах
vх ÷ vх + dvх vy ÷ vy + dvy vz ÷ vz + dvz
dP(vх) = ϕ(vх)dvх dP(vy) = ϕ(vy)dvy dP(vz) = ϕ(vz)dvz
В силу равноправности движения молекул во всех направлениях вид трех функций ϕ(vх), ϕ(vy), ϕ(vz) должен быть одинаковым.

Слайд 15

Кроме того, проекции скоростей vх, vy, vz являются статистически независимыми друг

от друга событиями. Поэтому по теореме об умножении вероятностей получаем, что вероятность нахождения проекций скоростей в интервалах
vх ÷ vх + dvх vy ÷ vy + dvy vz ÷ vz + dvz
равна
dP(vх, vy, vz) = dP(vх)dP(vy)dP(vz) = ϕ(vх)ϕ(vy)ϕ(vz)dvхdvydvz
Сравнивая с (10.5.1), находим
f(v) = ϕ(vх)ϕ(vy)ϕ(vz) (10.5.4)
Логарифмируя, получаем
lnf = lnϕ (vх)+ lnϕ(vy)+ lnϕ(vz)

Слайд 16

Возьмем частные производные от последнего выражения. Сначала продифференцируем по vх
поскольку
то
В

последнем выражении слева и справа стоят функции от разных независимых переменных v и vх. Поэтому их равенство может быть лишь когда они обе равны одной и той же константе.

Слайд 17

Обозначая эту константу через - α , получаем
Данное соотношение является дифференциальным

уравнением первого порядка, интегрируем его

Слайд 18

Аналогичные выкладки дают выражения для других функций
Поэтому

Слайд 19

Константу интегрирования С найдем из условия нормировки

Слайд 20

Константу α найдем из расчета средних значений квадратов проекций скорости
Такие же

значения имеют и , поэтому

Слайд 21

Но ранее, (10.3.2) было получено
поэтому
Подставляя α в функцию , а последнюю

в , получаем
функцию распределения молекул газа по скоростям, которая называется распределением Максвелла
(10.5.5)

Слайд 22

Построим график функции распределения Максвелла для разных температур. Максимум кривой отвечает

наиболее вероятной скорости молекул
(10.5.6)

Слайд 23

Определим среднеквадратичную скорость молекулы
(10.5.7)
и среднюю скорость молекулы
(10.5.8)
Между этими тремя скоростями

имеет место пропорция
значит из них самая большая - среднеквадратичная скорость молекулы.

Слайд 24

Согласно (10.5.2) и (10.5.3) число молекул в сферическом слое с радиусом

v и толщиной dv равно
dN(v) = NF(v)dv (10.6.1)
Обозначим кинетическую энергию молекулы Т = mv2/2 = ε, тогда
Дифференциалы скорости и энергии связаны уравнением
d ε = d(mv2/2) = mvdv
Подставим эти выражения в исходную формулу (10.6.1).

Закон распределения молекул по кинетическим энергиям

Основы молекулярно-кинетической теории

Содержание

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов Получим уравнение состояния

Если n – концентрация молекул в газе, то число молекул

здесь - средний квадрат модуля скорости, равныйгде N – число молекул

Здесь - среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул. Формула

Элементы теории вероятностей При статистическом описании свойств термодинамических систем используются понятия