Основы статистического анализа случайных величин. Распределение Максвелла

лекции №8.
Лекция состоит из двух разделов.
Раздел 1 – основы статистического анализа случайных величин.
Раздел 2 – собственно распределение Максвелла.
Первый раздел, являющийся по преимуществу математическим, необходим для понимания и вывода основных формул второго раздела.

молекулярной теории вещества (из прошлой лекции):
все процессы, протекающие в веществе, обусловлены совокупным действием огромного числа частиц этого вещества, поведение которых случайно, хаотично.
Свойства, параметры вещества (температура, давление и др.) определяются усреднёнными значениями характеристик частиц (скорость, энергия и т.д.), а не характеристиками отдельных молекул, атомов.
Статистический анализ позволяет рассчитывать средние значения необходимых характеристик.

случае идеального газа – это:
координата частиц x.
значение скорости частиц v.
Замечание: Рассматриваем одномерный случай, для простоты.
В силу хаотического поведения частиц, величины x и v случайны, т.е. они могут принимать произвольные значения в интервале от минус до плюс бесконечности:
-∞ < x < +∞, -∞ < v < +∞.
Величины x и v также будут случайными, если интервал их изменений будет ограничен сверху и/или снизу, например:
из-за наличия «жёстких» стенок: a ≤ x ≤ b,
- если рассматривать модуль скорости: 0 ≤ ǀvǀ < +∞.

x и v могут быть распределены неравномерно, в некоторых областях они могут «встречаться» чаще, в других – реже.

В зависимости от задачи распределения случайных величин могут не совпадать (например, кривые 1, 2, 3 на правом рисунке), но принципиально они похожи.
Здесь и далее будет рассматри - ваться модуль скорости частиц v.

Функции f(x) и f(v) называются функциями распределения по координатам частицы x и по модулю скорости частицы v, соответственно.

смыслу функция распределения и вероятность
связаны друг с другом. Более строго:
Вероятность нахождения частицы в окрестности точки x
есть dР(х) = f(x)×dx .
Вероятность того, что значение модуля скорости частицы
лежит в окрестности значения v, есть dР(v) = f(v)×dv .
Тогда функция распределения есть плотность вероятности:
f(x) = dP(x) / dx, f(v) = dP(v) / dv.

анализа

Вероятность того, что частица может быть обнаружена во всей области
(-∞ < x < +∞) равна 1.

Плотность вероятности Заштриховано: вероятность Заштриховано: вероятность
(она же: функция распределения) обнаружить частицу вблизи обнаружить частицу во всей
точки x: dP(x) = f(x)×dx области: Р =

Функция распределения f(x) называется
нормированной, если выполняется условие нормировки:

значение любой случайной величины, например, координаты х, называется математическим ожиданием.

Допускаются различные обозначения:
M[X] = x = = xср
Обязательное условие:
Функции f(x), f(v) должны быть нормированы.

Среднее значение модуля случайной величины скорости частицы v рассчитывается аналогично:

– это случайное, без видимых причин, непрерывное изменение во времени какой-либо величины x: координаты частицы x или модуля скорости v.

Случайное изменение во времени величины х(t).
Также может выглядеть график v(t).

Среднее по времени значение величины х рассчитывается так:

Статистический ансамбль – это последовательность дискретных случайных значений {xi}.

Среднее по «ансамблю» значение величины х рассчитывается так:

вызванные случайными причинами.

Величина флуктуации

функция распределения частиц идеального газа
(атомов, молекул) по модулю скорости v.

Основная функциональная зависимость: f(v) ~ v2×exp(-mv2/2kT)

– масса частицы (атома, молекулы)
μ – молярная масса

Максимум распределения Максвелла:
A =(4π/e)×(m/2πkT)½ с/м

vвер

величин.
2. Основы статистического анализа. Средние значения случайных величин.
3. Основы статистического анализа. Случайные процессы. Флуктуации.
4. Распределение Максвелла. Формула, характерные скорости частиц.
5. Распределение Максвелла по энергии частиц.
Важно:
Вопросы совпадают с названиями разделов и подразделов лекции