Плоский изгиб. Деформации и перемещения. Условие жесткости

в общем случае нагружения:

Закон сохранения энергии:
Потенциальная энергия внешних сил UP, действующих на тело, находящееся в равновесии, полностью переходит в потенциальную энергию деформации U этого тела:

Потенциальная энергия деформации U численно равна работе внешних сил AP, проделанной ими при этой деформации:

В балках основным усилием вызывающим деформацию изгиба является изгибающий момент, поэтому потенциальная энергия упругой деформации при изгибе балки определяется по:

стороны, работа силы) численно равна половине произведения величины силового фактора на значение перемещения, соответствующего этой силе:

Таким образом, появляется возможность решать задачу в общем виде, не конкретизируя ни силовые факторы, ни перемещения. При этом вводят понятия обобщенной силы (F) и обобщенного перемещения (Δ).

Обобщенная сила – это сила или группа сил, которую удобно выделить при подсчете потенциальной энергии деформации. Обобщенной силой может быть сосредоточенная сила, момент, распределенная нагрузка или их сочетание.

Обобщенное перемещение – это тот вид перемещения (линейное, угловое, объемное и т. д.), на котором рассматриваемая обобщенная сила производит работу.

обобщенную силу представляло собой работу (размерность работы – H·м).
Таким образом, для сосредоточенной силы, принятой за обобщенную, обобщенным перемещением будет являться линейное перемещение точки приложения силы.
Если в качестве обобщенной силы выбран момент, то обобщенным перемещением будет являться угол поворота сечения в точке приложения момента.

3. Теорема Кастильяно

Обобщенное перемещение сечения упругой системы, где приложена обобщенная сила равна частному производному от потенциальной энергии упругой системы по этой обобщенной силе.

систему, нагруженную только внешними силами, и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

2) рассмотреть «единичную» систему, нагруженную только одной силой – единичной силой Φ1=1, приложенной в той точке, где требуется найти перемещение, и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

3) подставить найденные внутренние усилия в интеграл Максвелла-Мора и найти перемещение.

распределенной силой q.

Решение:

Для определения перемещения необходимо рассмотреть две системы:
1) грузовую – нагруженную только внешними силами;
2) единичную – нагруженную единичной обобщенной силой, приложенной в точке и в направлении искомого перемещения. Так как нам необходимо найти угловое перемещение, то в качестве обобщенной единичной силы принимаем момент.

Применяя метод мысленных сечений, определим внутренние усилия, возникающие в сечениях каждой из систем:
а) грузовая система

«минус» показывает, что найденное перемещение φA и единичный момент направлены в разные стороны.

в начале, середине и конце рассматриваемого участка;

– значения ординат изгибающих моментов от действия единичной силы или единичного момента в начале, середине и конце рассматриваемого участка.

№ 30, определить прогиб и угол поворота свободного конца балки формулой Симпсона.

МР), определяем значения ординат в начале, середине и конце каждого участка.

Участок 1

Из условия равновесия балки определяем опорные реакции:

Участок 3
Участок 2

равную единице и строим эпюру изгибающих моментов с определением её ординат во всех рассмотренных выше сечениях.

Прогиб сечения «К» равен:

Прогиб yк имеет отрицательный знак, следовательно, сечение «К» поднимается вверх, против направления единичной силы.

сосредоточенный момент и строим эпюру изгибающих моментов (единичная эпюра) с определением её ординат во всех рассмотренных сечениях.

Угол поворота сечения «К» будет:

Угол поворота θк имеет отрицательный знак, следовательно, сечение «К» поворачивается против хода часовой стрелки - против направления единичного момента.

сечение, площадь эпюры изгибающих моментов и положение её центра тяжести легко определяемы, то интеграл Максвелла - Мора может быть решен графоаналитическим методом Верещагина:

где ω – площадь «грузовой» эпюры MF на данном участке; M1C – величина «единичного» момента под центром тяжести «грузовой» эпюры на данном участке.

= h·l, xc = l/2

Треугольник
ω = h·l/2, xc = l/3

Полная парабола
ω = 2h·l/3, xc = l/2

Выпуклая парабола
ω = 2h·l/3, xc = 3l/8

Вогнутая парабола
ω = h·l/3, xc = l/4

балки в середине пролета и угол поворота опорного сечения А методом Верещагина.

моментов от заданной нагрузки (грузовую эпюру), определяем площади эпюр и положение их центров тяжести на соответствующих участках.

Балка имеет два равных участка АК и КВ.
Площади эпюр:

Положение центров тяжести этих
площадей определяем:

равен:

уk имеет положительный знак, следовательно, прогиб сечения «К» балки направлен вниз, т.е. совпадает с направлением единичной силы.

Для определения прогиба в сечении «К» за единичную нагрузку принимаем сосредоточенную единичную силу строим эпюру изгибающих моментов от действия этой силы.

Орд

принимаем сосредоточенный единичный момент, приложенный в рассматриваемом сечении, и строим эпюру изгибающих моментов от его действия.
Для этой задачи балка имеет один участок.

.

Так как эпюра МР симметричная, то центр тяжести площади Ωр находится посередине. Ордината единичной эпюры под центром тяжести этой площади равна:

.

Площадь эпюры МР:

Угол поворота сечения «А» равен:

Угол поворота θА имеет отрицательный знак, следовательно, сечение поворачивается по ходу часовой стрелки (против направления единичного момента).