Теплопроводность. Нестационарная теплопроводность. (Тема 4. Лекции 16,17)

Сентябрь 15, 2022

Главная
Физика
Теплопроводность. Нестационарная теплопроводность. (Тема 4. Лекции 16,17)

Содержание

2. § 4. Нестационарная теплопроводность Процесс теплопроводности в неограниченной пластине описывается уравнением: , – одномерное дифференциальное уравнение
3. Для решения дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных: T (x, t) = Ф (x) ⋅ П
4. Принимаем допущения: 1) считаем, что нагрев (или охлаждение) пластины происходит из-за конвективной теплоотдачи от окружающей среды
5. Решение принимает вид: . Краевые условия: Т (x, 0) = TН , . Введем новую переменную
6. Краевые условия: ϑ (x, 0) = T0 – TН = ϑН , . Знак в правой
7. Подставим решение в граничное условие, например, при x=−δ: ⇒ ⇒ . Обозначим произведение k ⋅ δ
8. Жан Батист Био (1774–1862) – французский физик, геодезист и астроном. Его первые работы были посвящены исследованию
9. Имеем трансцендентное характеристическое уравнение, которое можно решить графически: . График левой части уравнения представляет собой котангенсоиду,
10. Характеристическое уравнение имеет бесчисленное множество корней. В связи с линейностью дифференциального уравнения теплопроводности его общее решение
11. Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по х в пределах толщины пластины. Меняя порядок интегрирования
12. Учитывая, что , получим: . Учтем также, что и sin2x = 2⋅sinx⋅cosx. Тогда .
13. Итак, получаем , и решение принимает окончательный вид: , где – безразмерная координата. Таким образом, безразмерная
14. Рассмотрим, к чему сводится полученное решение при Bi → 0. При этом угловой коэффициент 1/Bi прямой
15. Решение для рассматриваемого случая сводится к следующему: . Определим конкретный вид связи между μ1 и Bi.
16. Рассмотрим нестационарную теплопроводность при граничных условиях I рода для неограниченной пластины. Считаем, что на границах пластины
17. Считаем, что TW не изменяется: Характеристическое уравнение при Bi→ ∞ принимает вид ctgμn = 0, то
18. Выражение для безразмерной избыточной температуры (решение задачи нестационарной теплопроводности при граничных условиях III рода, см. слайд
19. В переходных процессах нестационарной теплопроводности, когда температура в каждой точке тела изменяется от одного установившегося значения
20. Ряд решения задачи нестационарной теплопроводности из § 17 быстро сходится. Во-первых, каждое следующее характеристическое число больше
21. Обозначим и прологарифмируем последнее выражение: . tР – время наступления регулярного режима. – темп охлаждения (нагрева),
22. Для граничных условий I рода при Fo ≥ 0,3 μ1 = . Величина называется темпом нагрева
24. Скачать презентацию

Слайд 2

§ 4. Нестационарная теплопроводность
Процесс теплопроводности в неограниченной пластине описывается уравнением:

, –
одномерное дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности при не зависящем от температуры λ и отсутствии внутренних источников теплоты.
В качестве начальных условий принимаем равномерное распределение температуры в начальный момент времени. В качестве граничных условий рассмотрим граничные условия III рода.

Слайд 3

Для решения дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных:
T (x, t)

= Ф (x) ⋅ П (t) .
,
где С = С1 ⋅ С2 , D = С1 ⋅ С3 .
Константы C, D и k определим из краевых условий.

Слайд 4

Принимаем допущения:
1) считаем, что нагрев (или охлаждение) пластины происходит из-за конвективной

теплоотдачи от окружающей среды с постоянной температурой Т0;
2) рассматриваем осесимметричную задачу, то есть граничные условия на обеих поверхностях пластины считаем одинаковыми.
Функция sin (k⋅x) является нечетной, следовательно, для симметричной задачи константа D = 0.

Слайд 5

Решение принимает вид:
.
Краевые условия:
Т (x, 0) = TН ,
.
Введем

новую переменную – избыточную температуру:
ϑ (x, t) = T0 – T (x, t) .
Для этой переменной формулировка задачи имеет вид:
.

Слайд 6

Краевые условия:
ϑ (x, 0) = T0 – TН = ϑН ,

.
Знак в правой части граничного условия изменился в связи с тем, что
.
Решение имеет тот же вид, так как уравнение теплопроводности имеет тот же вид:
.

Слайд 7

Подставим решение в граничное условие, например, при x=−δ:
⇒
⇒ .
Обозначим

произведение k ⋅ δ = μ и назовем эту величину характеристическим числом.
– критерий Био.

Слайд 8

Жан Батист Био (1774–1862) – французский физик, геодезист и астроном. Его

первые работы были посвящены исследованию свойств газов. В 1811 г. открыл поляризацию света при преломлении, в 1815 – круговую поляризацию и установил закон вращения плоскости поляризации (закон Био), существование право- и левовращающих веществ. В 1820 г. совместно с Феликсом Саваром открыл закон, определяющий напряженность магнитного поля проводника с током (закон Био-Савара).
Био – автор широко известного «Курса общей физики» (1816). Его идеи о нематериальности теплоты, работы по теплопроводности, обработка математическим путем опытов над тепловым расширением тел и многое другое показывают, как он стремился все части современной ему физики усвоить и оформить до такой степени, что читателю кажется, будто они являются его оригинальными открытиями.

Слайд 9

Имеем трансцендентное характеристическое уравнение, которое можно решить графически:
.
График левой

части уравнения представляет собой котангенсоиду, являющуюся периодической функцией аргумента μ с периодом π, а график правой части – прямую с угловым коэффициентом 1/Bi. Абсциссы точек пересечения этих графиков дают корни характеристического уравнения.

Слайд 10

Характеристическое уравнение имеет бесчисленное множество корней.
В связи с линейностью

дифференциального уравнения теплопроводности его общее решение является суммой его частных решений:
.
Стоящая в показателе экспоненты величина – критерий Фурье, безразмерное время.
Неизвестные величины Cn определим из начального условия.
При Fo=0
.

Слайд 11

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по х в пределах

толщины пластины.
Меняя порядок интегрирования и суммирования (ввиду линейности этих операций) получим выражение:
,
поскольку и являются
ортогональными функциями, как это следует из характеристического уравнения. То есть их произведение обращается в нуль, кроме случая, когда m = n.

Слайд 12

Учитывая, что , получим:
.
Учтем также, что и sin2x = 2⋅sinx⋅cosx.
Тогда
.

Слайд 13

Итак, получаем
,
и решение принимает окончательный вид:
,
где – безразмерная

координата.
Таким образом, безразмерная избыточная температура
,
где Bi – параметр задачи, Fo и X – безразмерные независимые переменные.

Слайд 14

Рассмотрим, к чему сводится полученное решение при Bi → 0.
При этом

угловой коэффициент 1/Bi прямой на рисунке графического решения характеристического уравнения (слайд 9) → ∞ и прямая совпадает с осью ординат.
μn принимает следующий ряд значений: 0, π, 2π, 3π… Все коэффициенты Сn, кроме первого, обращаются в нуль, а для первого получается неопределенность типа нуль, деленный на нуль, которую необходимо раскрыть.
Обозначим через ~ Сn .
Раскроем с помощью предельного перехода неопределенность для D1 при μ1 = 0:
.

Слайд 15

Решение для рассматриваемого случая сводится к следующему:
.
Определим конкретный вид

связи между μ1 и Bi. При μ1 → 0 sin μ1≈μ1, tg μ1≈μ1, ctg μ1≈1/μ1. Следовательно, характеристическое уравнение принимает вид:
1/μ1 = μ1/Bi ⇒ ,
а , так как 0 ≤ Х ≤ 1.
Окончательно получим:
θ = exp(−Bi ⋅ Fo) .

Слайд 16

Рассмотрим нестационарную теплопроводность при граничных условиях I рода для неограниченной пластины.

Считаем, что на границах пластины происходит конвективная теплоотдача.
При конечных значениях величины полутолщины пластины δ и коэффициента теплопроводности λ случай Bi→ ∞ означает α→ ∞. Из-за интенсивной теплоотдачи разность температуры между средой и поверхностью объекта T0 – TW = q / α → 0 (так как плотность теплового потока q – величина постоянная).
Формулировка задачи:
;
начальное условие: ϑ (x, 0) = ϑН ,
граничное условие: ϑ (±δ,t) = 0 ,
где ϑ = TW – Т – текущая избыточная температура,
ϑН = TW – ТН – начальная избыточная температура.

Слайд 17

Считаем, что TW не изменяется:
Характеристическое уравнение при Bi→ ∞
принимает вид ctgμn

= 0, то есть прямая на рисунке графического решения характеристического уравнения совпадает с осью абсцисс.
Корни характеристического уравнения составляют следующий ряд значений: , , …
При этом sinμn = −1 при четных n, т.е. sin μn = (−1)n+1 , а cos μn = 0.

Слайд 18

Выражение для безразмерной избыточной температуры
(решение задачи нестационарной теплопроводности при граничных условиях

III рода, см. слайд 13) принимает вид:
.
В данном случае относительная избыточная температура определяется как функция числа Фурье и безразмерной координаты θ = f (Fo, X).
Число Био не является параметром задачи, так как лимитирующим звеном в процессе теплообмена является внутренний теплообмен.

Слайд 19

В переходных процессах нестационарной теплопроводности, когда температура в каждой точке тела

изменяется от одного установившегося значения до другого, можно выделить три характерных режима:
неупорядоченный, при котором начальное распределение температуры оказывает заметное влияние на развитие процесса;
регулярный, когда влияние начального распределения температуры исчезает;
стационарный, при котором температура во всех точках тела становится равной температуре окружающей среды.

§ 5. Регулярный тепловой режим

Слайд 20

Ряд решения задачи нестационарной теплопроводности из § 17 быстро сходится.
Во-первых, каждое

следующее характеристическое число больше предыдущего, μk > μk+1, и μn стоит в квадрате в отрицательном показателе экспоненты.
Во-вторых, поскольку критерий Фурье тоже стоит в отрицательном показателе экспоненты, ряд сходится тем быстрее, чем больше времени прошло с начала процесса. Практически уже при Fo ≥ 0,3 сумма ряда равна его первому слагаемому:
,
где μ1 = f (Bi), 0 ≤ μ1 ≤ .

Слайд 21

Обозначим
и прологарифмируем последнее выражение:
.
tР – время наступления

регулярного режима.
– темп охлаждения (нагрева), постоянная скорость изменения lnθ, с–1.
Очевидно, что .

Слайд 22

Для граничных условий I рода при Fo ≥ 0,3 μ1 =

.
Величина
называется темпом нагрева (охлаждения) при граничных условиях I рода. Итак, в этом случае темп нагрева пропорционален коэффициенту температуропроводности:
m∞ = k ⋅ a ,
где – коэффициент формы для плоской пластины.
Таким образом, при граничных условиях I рода темп нагрева не зависит от критерия Био, поскольку нагрев (охлаждение) тела лимитируется только внутренним теплообменом.

Теплопроводность. Нестационарная теплопроводность. (Тема 4. Лекции 16,17)

Содержание

§ 4. Нестационарная теплопроводность Процесс теплопроводности в неограниченной пластине описывается уравнением:

Для решения дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных: T (x, t)

Принимаем допущения:1) считаем, что нагрев (или охлаждение) пластины происходит из-за конвективной

Решение принимает вид: .Краевые условия:Т (x, 0) = TН , .Введем

Краевые условия:ϑ (x, 0) = T0 – TН = ϑН ,

Подставим решение в граничное условие, например, при x=−δ:⇒ ⇒ .Обозначим

Жан Батист Био (1774–1862) – французский физик, геодезист и астроном. Его

Имеем трансцендентное характеристическое уравнение, которое можно решить графически: . График левой

Характеристическое уравнение имеет бесчисленное множество корней. В связи с линейностью

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по х в пределах

Учитывая, что , получим: .Учтем также, что и sin2x = 2⋅sinx⋅cosx.Тогда.

Итак, получаем ,и решение принимает окончательный вид: , где – безразмерная

Рассмотрим, к чему сводится полученное решение при Bi → 0.При этом

Решение для рассматриваемого случая сводится к следующему: . Определим конкретный вид