Содержание
- 2. 1. Некоторые сведения из теории вероятности В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает
- 3. Введем величину Величина P(xi) называется вероятностью измерения значения xi. Вероятность может принимать значения 0 ≤ Р(хi)
- 4. f(x) ≥ 0, так как вероятность попадания измеренного значения в интервал от x до x +
- 5. Если состояние системы характеризуется двумя параметрами x и y, то вероятность её нахождения в состоянии со
- 6. 2. Распределение Больцмана Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем гравитационном поле. При нахождении концентрации молекул
- 7. Здесь k - постоянная Больцмана. Интегрирование этого уравнения позволяет определить зависимость давления от высоты: где P0
- 8. Эта зависимость носит название барометрической формулы. Она, в частности, позволяет рассчитывать зависимость давления атмосферы от высоты
- 9. 3. Распределение Максвелла Рассмотренный ниже подход был предложен Максвеллом в 1859 году. Введем пространство скоростей. Скорость
- 10. lnf(x) = lnψ(vx) + lnψ(vy) + lnψ(vz) v = (vx2 + vy2 + vz2)1/2 lnf(x) =
- 11. В этой формуле выбраны бесконечные пределы интегрирования. Но, конечно, реальная скорость движения молекулы не может достигать
- 12. Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является следствием определения средней кинетической энергии
- 13. Соответственно коэффициент a принимает вид Таким образом, функция ψ(vx) распределения значений проекции скорости vx приобретает форму
- 14. Учитывая то, что эта вероятность зависит только от величины скорости и не зависит от её направления
- 15. На рисунке изображен график функции распределения F(v). Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул
- 16. Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга: vmax Кроме функции распределения по абсолютным значениям скорости
- 17. 6. Распределение Максвелла-Больцмана Полученные в предыдущих параграфах распределения Больцмана и Максвелла позволяют определить соответственно зависимость концентрации
- 18. 5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла Первым экспериментальным подтверждением существования распределения молекул по скоростям можно считать результаты
- 19. При пропускании через платиновую нить электрического тока она разогревалась до максимальной температуры порядка 1200 oС. В
- 21. Скачать презентацию
1. Некоторые сведения из теории вероятности
В качестве основной функции, применяемой
1. Некоторые сведения из теории вероятности
В качестве основной функции, применяемой
Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром х, принимающим К дискретных значений: х1, х2, х3,..., хК. Пусть при проведении над системой N измерений были получены следующие результаты: значение х1 наблюдалось при N1 измерениях, значение x2 наблюдалось соответственно при N2 измерениях и т.д. Очевидно, что общее число измерений N равняется сумме всех измерений Ni, в которых были получены значения xi:
Введем величину
Величина P(xi) называется вероятностью измерения значения xi.
Вероятность может
Введем величину
Величина P(xi) называется вероятностью измерения значения xi.
Вероятность может
Рассмотрим статистическое описание, применимое для случая, когда измеренный параметр х может иметь любые значения в некотором интервале a ≤ x ≥ b. Причем, указанный интервал может быть и не ограниченным какими либо конечными значениями a и b.
Пусть в результате измерений было установлено, что величина х с вероятностью dP(x) попадает в интервал значений от x до x + dx. Тогда можно ввести функцию f(x), характеризующую плотность распределения вероятностей:
Эта функция обычно называется функцией распределения.
f(x) ≥ 0, так как вероятность попадания измеренного значения в интервал
f(x) ≥ 0, так как вероятность попадания измеренного значения в интервал
Вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений a ≤ x ≥ b равна единице:
Это есть условием нормировки функции распределения.
Функция распределения f(x) позволяет определить среднее значение любой функции φ(x):
В частности среднее значение параметра x:
Если состояние системы характеризуется двумя параметрами x и y, то вероятность
Если состояние системы характеризуется двумя параметрами x и y, то вероятность
y1 ≤ y ≥ y2 соответственно равна
где f(x,y) - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.
Соответственно для бесконечно малых интервалов dx и dy вероятность dP(x,y) можно представить в виде dP(x,y) = f(x,y)dxdy.
В случае статистической независимости значений параметров x и y друг от друга двумерная функция распределений f(x,y) равна произведению функций распределения f(x) и f(y): f(x,y) = f(x)f(y).
Это свойство функций распределения будет использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.
2. Распределение Больцмана
Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем гравитационном
2. Распределение Больцмана
Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем гравитационном
Пусть гравитационное поле однородно, а ось OZ направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты z: n = n(z). На объем dV = dSdz, находящийся в равновесии, снизу воздействует давление P, а сверху - соответственно давление P + dP. Условие механического равновесия для объема газа dV запишется в виде: PdS = (P + dP)dS + ρgdSdz, тогда dP = -ρgdz, где: ρ = mn = mP/kT – плотность газа, g - ускорение свободного падения, m - масса одной молекулы газа.
Здесь k - постоянная Больцмана.
Интегрирование этого уравнения позволяет определить зависимость давления
Здесь k - постоянная Больцмана.
Интегрирование этого уравнения позволяет определить зависимость давления
где P0 - давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.
, где μ - молярная масса газа.
Давление газа на различных высотах над Землей
Эта зависимость носит название барометрической формулы. Она, в частности, позволяет рассчитывать
Эта зависимость носит название барометрической формулы. Она, в частности, позволяет рассчитывать
Используя уравнения P = nkT/m получим следующую зависимость концентрации молекул идеального газа от координаты z:
, где n0 - концентрация газа при z = 0. Учтя, что EП(z) = mgz, можно сделать вывод, что для однородного гравитационного поля распределение концентрации газа зависит от потенциальной энергии его молекул в этом поле. Тогда:
Эта формула была впервые получена в 1866 году Л. Больцманом и описывает распределение, получившее название распределения Больцмана. Это распределение позволяет рассчитывать концентрацию газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле. Причем это поле не должно быть обязательно гравитационным, а может иметь любое происхождение, в частности, быть электростатическим или полем сил инерции.
Формула Больцмана применима к описанию распределения не только молекул газа, но и любых других микрочастиц.
3. Распределение Максвелла
Рассмотренный ниже подход был предложен Максвеллом в 1859
3. Распределение Максвелла
Рассмотренный ниже подход был предложен Максвеллом в 1859
Введем пространство скоростей. Скорость v любой молекулы газа можно представить через её проекции vx, vy и vz на соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям vx, vy и vz прямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа.
Далее сделаем предположение, что вероятности попадания значений проекций скорости молекулы vx, vy и vz в соответствующие интервалы dvx, dvy и dvz не зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами. Тогда функцию распределения f(x) можно представить в виде: f(v) = ψ(vx)ψ(vy)ψ(vz), где ψ(vx), ψ(vy) и ψ(vz) - функции распределения значений соответствующих проекций скорости vx, vy и vz, причем вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.
lnf(x) = lnψ(vx) + lnψ(vy) + lnψ(vz)
v = (vx2 + vy2
lnf(x) = lnψ(vx) + lnψ(vy) + lnψ(vz)
v = (vx2 + vy2
lnf(x) = α + βv2
f(v) = exp(α + βv2)
Тогда для значений проекций скорости vx приобретает вид:
ψ(vx) = exp(α/3 + βv2).
Здесь константы α и β можно определять, исходя из условия нормировки и значения среднего квадрата скорости хаотического движения молекул газа.
Введем следующие обозначения: a = exp(α/3), b = -β,
с учетом которых функция приобретет вид: ψ(vx) = aexp(-βvx2).
В соответствии с условием нормировки можно записать:
В этой формуле выбраны бесконечные пределы интегрирования. Но, конечно, реальная скорость
В этой формуле выбраны бесконечные пределы интегрирования. Но, конечно, реальная скорость
Для нахождения интеграла можно использовать интеграл Пуассона:
применение которого дает
Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является
Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является
Интеграл в этом выражении может быть проинтегрирован по частям с использованием интеграла Пуассона:
Подстановка получившегося выражения в предыдущую формулу дает:
Соответственно коэффициент a принимает вид
Таким образом, функция ψ(vx) распределения значений
Соответственно коэффициент a принимает вид
Таким образом, функция ψ(vx) распределения значений
а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно вид
Эти функции называются функциями распределения Максвелла.
Кроме полученного выше распределения Максвелла f(v) часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа. Для получения этого распределения запишем в общем виде вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей dVv = dvxdvydvz: dP(v) = f(v)dVv.
Учитывая то, что эта вероятность зависит только от величины скорости и
Учитывая то, что эта вероятность зависит только от величины скорости и
Функция F(v) = 4πv2dv
или
называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от v до v + dv.
На рисунке изображен график функции распределения F(v). Максимум этой функции соответствует
На рисунке изображен график функции распределения F(v). Максимум этой функции соответствует
Отсюда следует, что кроме случаев когда v = 0 и v = ∞, соответствующих минимуму функции F(v), имеется решение
дающее выражение для наиболее вероятной скорости молекул газа.
Кроме наиболее вероятной скорости, функция F(v) позволяет найти среднюю скорость
Вычисление интегралов дает выражения для средней скорости
и для средней квадратичной скорости молекул
Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга:
vmax < ‹v›
Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга:
vmax < ‹v›
Кроме функции распределения по абсолютным значениям скорости F(v) применяется функция распределения по значениям кинетической энергии.
Приравняв вероятности dP(EK) = dP(v) или FE(EK) = F(v)dv, и используя
подстановку и , имеем:
Все полученные распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы не только для газов, но и для любых систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.
6. Распределение Максвелла-Больцмана
Полученные в предыдущих параграфах распределения Больцмана и Максвелла
6. Распределение Максвелла-Больцмана
Полученные в предыдущих параграфах распределения Больцмана и Максвелла
Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины x, y, z, vx, vy и vz, то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этих шести переменных: nf(x,y,z,vx,vy,vz). Считая пространственные переменные x, y, z и компоненты скорости vx, vy, vz статистически независимыми друг от друга, можно записать: nf(x,y,z,vx,vy,vz) = n(x,y,z)f(vx,vy,vz)
или
,
где выражение для кинетической энергии имеет вид:
EK(vx,vy,vz) = m(vx2 + vy2 + vz2).
Эта формула описывает распределение, называющееся распределением Максвелла-Больцмана. Она может быть использована в случае, когда полная энергия молекулы E равна сумме её потенциальной энергий ЕП во внешнем силовом поле и кинетической энергии ЕК её поступательного движения: Е = ЕП + ЕК).
5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла
Первым экспериментальным подтверждением существования распределения молекул
5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла
Первым экспериментальным подтверждением существования распределения молекул
При пропускании через платиновую нить электрического тока она разогревалась до максимальной
При пропускании через платиновую нить электрического тока она разогревалась до максимальной
Максимальную и минимальную скорости, соответствующие краям следа, а также найти наиболее вероятную скорость, соответствующую максимуму плотности осевших молекул.
При температуре нити 1200 oС среднее значение скорости атомов серебра, полученное после обработки результатов опытов Штерна, оказалось близким к 600 м/с, что вполне соответствует значению средней квадратичной скорости, вычисленному по формуле Максвелла.