Упругие напряжения и обратимые деформации. (Лекция 10)

тела, имеет место взаимодействие сил такого же характера, как и распределенных по поверхности нагрузок.

Действие части А в точке O на часть В можно представить вектором силы δP и в общем случае вектором момента δM.

δА – элементарная площадка, содержащая точку О

(1)

Тензор напряжений

компонент тензора соответствует номеру координатной поверхности, второй – направлению действия.

(3)

(4)

(5)

проведенным через эту точку.

n1,n2,n3 – направляющие косинусы нормали

(6)

Повторяющийся индекс (i) называется немым (подставным); по нему идет суммирование. Неповторяющийся индекс (j) называется свободным

напряжений связан с направлениями осей координат: если внешняя нормаль к данной площадке совпадает с направлением соответствующей координатной оси, то на этой площадке касательные напряжения – положительные.

смещений!

Сравниваем (21) и (22):

(23)

Тензор относительной деформации точки Q относительно точки P или тензор дисторсии Компоненты этого тензора есть функции координат и времени!

суммы двух тензоров:

Симметричная часть:

Тензор малых деформаций Коши

(23)

(24)

(25)

Тензор малых поворотов

в виде суммы двух тензоров:

(26)

(27)

(28)

(29)

…….

(13)

Шаровой тензор

Девиатор тензора деформаций

Тензор малых деформаций, по определению, симметричен!

деформация происходит без изменения объема:

Условие несжимаемости для деформируемой среды

МЖГ:

(34)

Компоненты вектора скорости

три независимые величины:

(35)

(36)

удлинение

Идеальная упругость – однозначная зависимость между силами и вызванными этими силами перемещениями

Для огромного большинства материалов закон упругости с большой точностью можно считать линейным

модуль упругости

Закон Гука

Закон упругости справедлив, пока напряжения не достигнут некоторого предела, называемого пределом упругости

Для всех материалов, применяемых в технике (кроме резины и каучукообразных полимеров), модуль упругости весьма высок по сравнению с пределом упругости, поэтому величина упругой деформации невелика – не более 1-2 %

(39) найдем

(41)

(42)

Тензоры напряжений и деформаций обладают рядом интересных свойств. Рассмотрим некоторые из них

начале координат. Ее уравнение в главных осях:

После деформации точки сферы будут иметь координаты:

и окажутся на поверхности, описываемой следующим уравнением

т.е., уравнение сферы переходит в уравнение эллипсоида, если все главные значения тензора деформаций – различны. Если главные значения – одинаковы, то сфера переходит в сферу.

В теории показывается (обычными средствами математического анализа), что точки, лежащие на одной прямой до деформации, после деформации также расположатся на некоторой прямой; параллельные прямые останутся параллельными и тд.

будет величина, связанная с изменением диагональных компонент тензора деформаций

Как перейти от (1) к термодинамической системе в целом? Введем гидродинамической давление по формуле

(1)

Известно (для малых деформаций):

(2)

Если - шаровые тензоры, то

(3)

записать и для единицы объема (обозначения оставляем прежними)

Как мы уже знаем, если имеется уравнение Гиббса, то имеет место система УРС:

(5)

(6)

(7)