Арифметические основы ЭВМ

символов.

Системы счисления

Позиционные

Непозиционные

Значение любой цифры в числе определяется ее кодом и местом в числе.

Значение цифры в числе не зависит от ее местоположения в числе.

Пример: арабская форма чисел.
Имеем два числа: 123 и 321. Цифра 3 определяет
в первом числе - три единицы,
во втором – три сотни.

Пример: римская форма чисел.
Имеем два числа: IX и XI .
Знак I в обоих случаях единица.
Если она расположена:
слева от X, то вычитается из 10,
справа от X, то прибавляется к 10.

в зависимости от ее основания.

Основанием СС (q) называется количество символов алфавита, применяемого для записи чисел.
Алфавит СС – это множество символов или цифр, используемых в конкретной СС для записи чисел

Для указания СС, в которой представлено число, обозначение числа дополняют:
Либо нижним индексом в виде основания СС.
Например, (101000)2 , (173)8 , (8AF)16
Либо в двоичном числе используют символы B или b (binary – двоичный).
Например, (101000)2 = 101000b = 101000B;
Либо в шестнадцатеричном числе указывают символы 0х слева от числа
или символы H или h (hexadecimal – шестнадцатеричный) справа от числа
Например, (8АF)16 = 0х8АF = 8AFH = 8AFh.

с помощью кодирующего алгоритма:
( an-1 … a1 a0 , a-1 … a-m )q =
an-1*qn-1 +…+ a1*q1 + a0*q0 + a-1*q-1 …+ a-m*q -m (1)
где q – основание системы счисления,
a i – цифра в i-м разряде числа,
n – количество разрядов целой части числа,
m - количество разрядов дробной части числа.
Пример1. Для случая N10 = ( 328,16 )10.
Имеем q=10, n=3, m=2,
а2=3, а1=2, а0=8, а-1=1, а-2 =6.
Тогда,
(328,16)10 = 3*102 +2*101+8*100 +2*10-1+6*10-2

и в десятичной системе.

Из таблицы видно, что любая восьмеричная цифра может быть записано тремя двоичными разрядами (триадой), а любой шестнадцатеричный символ – четырьмя двоичными разрядами (тетрадой).

переводе вещественных чисел отдельно переводится целая часть числа и отдельно дробная, а затем полученные результаты объединяются.

Правила перевода

Целых чисел

Правильных дробей

Исходная дробь умножается на основание СС, в которую она переводится.
Перемножаются только дробные части, получающихся произведений.
Умножения прекращаются, если дробная часть равна 0 или получено нужное количество цифр в результате.
Дробь в новой СС записывается последовательностью цифр, которые являются целыми частями полученных произведений.

1. Исходное число делят на основание СС, в которую число переводится, получая частное и остаток.
2. Если частное больше основания СС, в которую выполняется перевод, то повторяется шаг1.
3. Остатки от деления дадут искомый код числа при записи их, начиная с последнего частного.

данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата.
Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
Таким образом, (19,847)10 ≈ (10011,1101 …)2

(10011)2

(0,1101 …)2

счисления:

перевода всегда целое число.
Целые числа всегда переводятся точно.

Результат перевода всегда правильная дробь.
В общем случае точного перевода не существует.

из любой позиционной системы счисления в десятичную наиболее просто осуществить по формуле кодирующего алгоритма
Пример 4.  Двоичное число из примера 2 перевести в десятичную систему.
(10011, 1101)2 =
=1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 +1*2-1 +1*2-2 +0*2-3 +1*2-4 =
= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = (19,8125)10
В примере 2 при переводе десятичного числа (19,847)10 ограничились только четырьмя двоичными разрядами после запятой. Поэтому
(19,8125)10 ≈ (19,847)10
Чем больше двоичных разрядов было бы сохранено, тем более точно двоичный код соответствовал бы исходному числу.

с двоичными числами следует иметь в виду, что:
Они выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел.
Таблицы сложения и умножения имеют вид:
0 + 0 = 0 0 x 0 = 0
1 + 0 = 1 1 x 0 = 0
0 + 1 = 1 0 x 1 = 0
1 + 1 = 10 1 x 1 = 1
При вычитании занимаемая единица старшего разряда превращается в 2 единицы более младшего разряда.
Рассмотрим на примерах выполнение таких операций, как сложение, вычитание, умножение и деление для целых двоичных чисел.

с двоичными кодами этих чисел.

Результаты в десятичной системе:
а). (10011)2 = 1*24 + 1*21 + 1*20 = 16 + 2 + 1 = (19)10
б). (101)2 = 1*22 + 1*20 = 4 + 1 = (5)10
в). (1010100)2 = 1*26 + 1*24 + 1*22 = 64 + 16 + 4 = (84)10
г). (1,101…)2 = 1*20 + 1*2-1 + 1*2-3 = 1 + 0,5 + 0,125 = (1,625)10
Первые три результата совпадают точно. Результат деления (12)10 на (7)10 с точностью 3 знака после запятой будет (1,741…)10, т.е. (1,741…)10 ≈ (1,б25)10

для человека. Реализовать их электронными схемами достаточно затруднительно. Поэтому в средствах ВТ:

Операция умножения сводится к последовательности поразрядных сложений и сдвигов двоичного кода первого сомножителя влево
Операция деления – это последовательность поразрядных вычитаний и сдвигов делителя вправо.
Операция вычитания сводится к операции сложения с отрицательным числом.
А сама операция поразрядного сложения, как будет показано в следующих разделах, реализуется совокупность логических функций.
Первые два тезиса можно иллюстрировать примером 5 и внимательным анализом последовательности действий с двоичными кодами, выполняемых при операциях умножения и деления.
Рассмотрим более подробно третий тезис.

в средствах ВТ отрицательные числа представляются с помощью специальных кодов (обратных или дополнительных). Не вдаваясь в глубину этих понятий, проиллюстрируем их на примерах.

арифметических операций.
Простота реализации в ЭВМ с помощью элементов, имеющих два устойчивых состояния.

Большая длина чисел с однообразными знаками 0 и 1.
Неточность перевода дробной части десятичных чисел, что является источником ошибок вычислений на ЭВМ.

других позиционных систем, справедливы рассмотренные ранее правила перевода из десятичной системы счисления и обратно.
Различие состоит в том, что вместо основания q=2, надо использовать q=8 или q=16, соответственно.
Пример 8. Выполнить перевод числа (20)10 = ( ? )16 = ( ? )8 и полученные коды перевести в обратно в десятичную систему счисления.

Особенность этих систем: любая восьмеричная цифра записывается триадой, а шестнадцатеричная тетрадой двоичных разрядов. Поэтому шестнадцатеричные и восьмеричные коды используют для стенографических записей двоичных данных, что особенно важно для обеспечения наглядности данных и компактности печати.

разбивается на тетрады (или триады), начиная с младших разрядов.
Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4 (или 3), то оно дополняется слева незначащими нулями для достижения требуемой кратности;
Каждая тетрада (или триада) заменятся соответствующей шестнадцатеричной (или восьмеричной) цифрой в соответствии с таблицей соответствия кодов (см. табл.).
Пример 9. Записать 12-разрядное двоичное число (101100001111)2 в шестнадцатеричной и восьмеричной системах счисления.

исходного числа заменяется тетрадой (или триадой) двоичных цифр из таблицы соответствия кодов (см. табл.).
Если в таблице двоичное число имеет менее 4-х цифр (или 3-х при переводе из восьмеричной) СС, то оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады (триады).
В результирующем числе нули слева отбрасываются.
Пример 10. Записать числа (13)16 и (13)8 в двоичной СС.
В исходных числах по 2 цифры.
Первые (1)16=(1)8 =(1)2 , а вторые (3)16=(3)8 = (11)2
После дополнения двоичных кодов этих цифр нулями до тетрад и триад получим:
(13)16 = (0001 0011)2 = (10011)2
(13)8 = (001 011)2 = (1011)2