Двумерные массивы Лекция №7

числами
Квадратные матрицы
Транспонирование матриц
Умножение матрицы на вектор
Умножение матрицы на матрицу
Удаление строки
Включение столбца
Операции с элементами матриц
Преобразование матрицы в одномерный массив
Многомерные массивы

таблицами данных, математическим эквивалентом которых служат матрицы. Такой способ организации данных, при котором каждый элемент определяется номером строки и номером столбца, на пересечении которых он расположен, называется двумерным массивом (матрицей) или таблицей.
Их можно занести в память компьютера, используя понятие двумерного массива. Положение элемента в массиве определяется двумя индексами. Они показывают номер строки и номер столбца. Например: A[7,6], D[56,47].

организовать с использованием сложноциклической структуры. Так как, например, при заполнении массива необходимо произвести обход всех элементов по строкам ( i ) изменяя индексы столбцов ( j ). Таким образом объявленный массив из N строк и M столбцов
Const
n=6;
m=8;
Var
a : array [1..n, 1..m] of integer;
будет организован в памяти ЭВМ следующим образом:

integer;
I, j : integer;
Begin
writeln (‘ Заполнение элементов целочисленного массива A[6,8] ‘);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
write (‘a[‘, i , ‘, ‘ , j, ‘] =‘);
read (a[ i , j ]);
end;
writeln (‘В памяти компьютера сформирован двумерный массив с элементами’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (a[ i , j ]:6);
writeln;
end
End.

начало
Aij

A[6,8]

конец
Aij

: array [1..n, 1..m] of integer;
I, j : integer;
Begin
randomize;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
a[ i, j ]:=random(101);
write (a[ i , j ]:6);
end;
writeln;
end
End.

начало
Aij

A[6,8]

конец

равно n.
Любая квадратная матрица имеет элементы главной и побочной диагонали.
Диагональные элементы главной диагонали :
a[1 , 1];a[2 , 2];a[3 , 3];….;a[n , n].
Элементами побочной диагонали являются :
a[1 , n];a[2 , n-1];a[3 , n-2];…;a[n-1 , 2];a[n , 1].

случайными числами и нахождения произведения элементов главной диагонали и суммы элементов ниже побочной диагонали.
Отметим элементы главной диагонали для нахождения их произведения.

: integer;
Begin
randomize;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
a[ i, j ]:=random(101);
write (a[ i , j ]:6);
end;
writeln;
end
p:=1;
for i:=1 to n do
p:=p*a[ i, i ];
s:=0;
for i:=2 to n do
for j:=n-i+2 to n do
s:=s+a[ i, j ];
writeln (p,s);
End.

столбцами, а столбцы - строками, т.е. вычислить
b[ i,j ] :=a[ j,i ], где i=1,…,n; j=1,…,m.
Матрица А Матрица B

: array [1..m,1..n] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
a[ i,j ]:=random(31)-15;
write (a[ i,j ]:6);
end;
writeln(‘’);
end;

for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
b[ j,i ]:=a[ i,j ];
writeln (‘Получена транспонированная матрица B’);
for i:=1 to m do
begin
for j:=1 to n do
write(b[ i,j ]:6);
writeln(‘’);
end;
End.

матрицы n*n для этого необходимо поменять местами каждый элемент верхнего треугольника с соответствующим элементом нижнего (диагональные элементы переставлять не нужно).
При этом для каждой строки нужно выполнять перестановку для элементов, расположенных правее главной диагонали, с элементами соответствующего столбца, расположенными ниже главной диагонали. При перестановке используем вспомогательную переменную tmp, помещая в нее для временного хранения один из переставляемых элементов, чтобы не потерять его значение.

integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована квадратная матрица A’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
a[ i,j ]:=random(101)-50;
write (a[ i,j ]:6);
end;
writeln(‘’);
end;

for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
begin
tmp:=a[ i,j ];
a[ i,j ]:=a[ j,i ];
a[ j,i ]:=tmp;
end;
writeln (‘Получена транспонированная матрица ’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(a[ i,j ]:6);
writeln(‘’);
end;
End.

на вектор B
размером m необходимо вычислить , i=1,….,n.
Использование вспомогательной переменной s позволяет уменьшить время выполнения программы за счет исключения обращения в цикле по j к элементам массива C.

[1..n,1..m] of integer;
b : array [1..m] of integer;
c: array [1..n] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
a[ i,j ]:=random(101)-50;
write (a[ i,j ]:6);

end;
writeln(‘’);
end;
writeln (‘Сформирован вектор B’);
for j:=1 to m do
begin
b[ j ]:=random(51)-30;
write (b[ j ]:6);
end;
for i:=1 to n do
begin
s:=0;
for j:=1 to m do
s:=s+a[ i,j ]*b[ j ];
c[ i ]:=s;
end;
writeln (‘Получен вектор C ’);
for i:=1 to n do
write(c[ i ]:6);
End.

B размером k*m
необходимо вычислить , i=1,…,n; j=1,…,m.

Const
n=3;
m=4;
k=5;
Var
i, j, s : integer;
a : array [1..n,1..k] of integer;
b : array [1..k,1..m] of integer;
c : array [1..n,1..m] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do

begin
for j:=1 to k do
begin
a[ i,j ]:=random(101)-50;
write (a[ i,j ]:6);
end;
writeln;
end;
writeln (‘Сформирована матрица B’);
for i:=1 to k do
begin
for j:=1 to m do
begin
b[ i,j ]:=random(351)-85;

j:=1 to m do
begin
s:=0;
for l:=1 to k do
s:=s+a[ i,l ]*b[ l,j ];
c[ i,j ]:=s;
end;

writeln (‘Сформирована матрица С’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (c[ i,j ]:6);
writeln;
end
End.

одномерного массива, за тем исключением, что операция переноса элементов выполняется для каждого столбца при переборе строк. Рассмотрим программу удаления из матрицы А заданной с клавиатуры строки T.

Const
n=10;
m=5;
Var
i, j, t, n : integer;
a : array [1..n,1..m] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do

begin
for j:=1 to m do
begin
a[ i,j ]:=random(101)-50;
write (a[ i,j ]:6);
end;
writeln;
end;
writeln (‘Введите номер строки для удаления’);
readln (t);

a[ i,j ]=a[ i+1,j ];
writeln (‘Получена матрица ‘);
for i:=1 to k do
begin
for j:=1 to m do
write (a[ i,j ]);
writeln;
end
End.

алгоритмом включения элементов одномерного массива, за тем исключением, что операция переноса элементов выполняется для каждой строки при переборе столбцов. Рассмотрим пример, где необходимо в квадратной матрице А вставить столбец, содержащий ее элементы главной диагонали - следующим за столбцом, содержащим минимальный элемент матрицы. Для этого перепишем диагональные элементы в массив B, найдем минимальный элемент и его индекс по столбцу. Перебирая столбцы, сдвинем все столбцы на позицию вправо начиная от найденного индекса столбца минимального элемента. Занесем в следующий столбец за индексом минимального элемента - элементы столбца, которые хранятся в массиве B.

array [1..n,1..n+1] of integer;
b : array [1..n] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
a[ i,j ]:=random(101);
write (a[ i,j ]:6);
end;

b[ i ]:=a[ i,i ];
writeln;
end;
min:=a[1,1]; j_min:=1;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (a[ i,j ] begin
min:=a[ i,j ];
j_min:=j;
end;
m:=n+1;
for j:=n downto j_min do
for i:=1 to n do
a[ i,j ]:=a[ i,j+1 ];
for i:=1 to n do
a[ i,j_min+1]:=b[ i ];
writeln (‘Получен массив ‘);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (a[ i,j ]:4);
writeln;
end
End.

преобразования матрицы, однако довольно часто встречаются задачи на преобразования матриц за счет изменения значений их элементов. Рассмотрим пример на умножение заданной с клавиатуры строки матрицы на элемент, являющийся "седловой" точкой, т.е. например, минимальным элементом из максимальных элементов по строкам. Для решения такой задачи следует определить значение "седловой" точки. Это можно сделать, организовав поиск максимального элемента по каждой строке и занесение его в элемент соответствующий индексу этой строки одномерного массива. Далее найти минимальный элемент в получившемся массиве, который и будет являться "седловой" точкой. После алгоритм становится достаточно не сложным. Необходимо ввести с клавиатуры индекс строки для преобразования и в цикле по столбцам преобразовать все элементы заданной строки, умножив их значение на полученный элемент "седловой" точки.

array [1..n,1..m] of integer;
b : array [1..n] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
a[ i,j ]:=random(101);
write (a[ i,j ]:6);
end;
writeln;
end;

writeln (‘Введите номер строки матрицы для ее умножения ее на значение 'седловой' точки ‘);
readln(t);
for i:=1 to n do
begin
max:=a[i][1];
for j:=2 to m do
if (a[ i,j ]>max)
max:=a[ i,j ];
b[ i ]:=max;
end;
sedlt:=b[1];
for i:=1 to n do
if (b[ i ] sedlt=b[ i ];
for j:=1 to m do
a[ t,j ]:=a[ t,j ]*sedlt;
printf (‘Получена матрица ‘);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
write (a[ i,j ]:5);
writeln;
end
End.

двумерных того же размера, что часто требует выполнения указанного преобразования. Требуется переслать элементы матрицы n*m в одномерный массив того же размера по строкам с сохранением порядка следования элементов.
Для этого нужно соответствующим образом согласовать индексы исходной матрицы А и формируемого одномерного массива Х.

[1..n,1..m] of integer;
x : array [1..n*m] of integer;
Begin
randomize;
writeln (‘Сформирована матрица A’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
a[ i,j ]:=random(101);
write (a[ i,j ]:6);
end;
writeln;
end;

for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
x[ (i-1)*m+j ]=a[ i,j ];
writeln (‘Получен массив X’);
for i:=1 to n*m do
write (x[ i ]:6);
End.

1..16, 1..4 ] of real;
…
for i:=1 to 5 do
for j:=1 to 3 do
for k:=1 to 16 do
for m:=1 to 4 do
a[ i,j,k,m ]:=random(101);
…