Численное интегрирование

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Численное интегрирование

Содержание

2. В каких случаях необходимо использовать численное интегрирование? интеграл не вычисляется аналитически; подынтегральная функция имеет сложный вид;
3. Методы: Численное интегрирование метод прямоугольников; метод трапеций; метод Симпсона (парабол); метод Гаусса. В основе численных методов
4. Методы прямоугольников метод левых прямоугольников; метод правых прямоугольников; метод средних прямоугольников.
5. Метод левых прямоугольников
6. Метод правых прямоугольников
7. Метод средних прямоугольников
8. Метод трапеций Точность интегрирования Формула трапеций
9. Метод Симпсона (парабол) Точность интегрирования Количество интервалов Формула Симпсона Площадь параболы
10. Метод Гаусса – относительные координаты узлов; – весовые коэффициенты. Квадратурная формула Гаусса Значения и подбираются так,
11. Метод Гаусса – корни полиномов Лежандра; Вычисление Полиномы Лежандра
12. Метод Гаусса Весовые коэффициенты Правые части Метод Гаусса можно использовать для вычисления несобственных интегралов от неограниченных
13. Метод Гаусса Координаты узлов и весовые коэффициенты для метода Гаусса
14. Вычисление интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования 1. Начальное значение шага интегрирования . 2. Вычисление значения
15. Вычисление несобственных интегралов Алгоритм 1. Задание начального значения b. 2. Вычисление значения интеграла Ib с точностью
16. Вычисление несобственных интегралов Для вычисления несобственного интеграла лучше всего использовать метод Гаусса, который обеспечивает более высокую
17. Задание Вычислить значение интеграла в MathCAD. Написать программу для вычисления интеграла с использованием метода трапеций. Написать
18. Контрольные вопросы 1. Алгоритмы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса). Составить программы с использованием
20. Скачать презентацию

Слайд 2

В каких случаях необходимо использовать численное интегрирование?
интеграл не вычисляется аналитически;
подынтегральная

функция имеет сложный вид;
подынтегральная функция задана таблично.

Слайд 3

Методы:
Численное интегрирование
метод прямоугольников;
метод трапеций;
метод Симпсона (парабол);
метод Гаусса.
В основе численных методов

– вычисление площади криволинейной трапеции

Вычисление интегралов с заданной точностью (автоматическим выбором шага интегрирования).
Вычисление несобственных интегралов.
Вычисление кратных интегралов.

Слайд 4

Методы прямоугольников
метод левых прямоугольников;
метод правых прямоугольников;
метод средних прямоугольников.

Слайд 5

Метод левых прямоугольников

Слайд 6

Метод правых прямоугольников

Слайд 7

Метод средних прямоугольников

Слайд 8

Метод трапеций
Точность интегрирования
Формула трапеций

Слайд 9

Метод Симпсона (парабол)
Точность интегрирования
Количество интервалов
Формула Симпсона
Площадь параболы

Слайд 10

Метод Гаусса
– относительные координаты узлов;
– весовые коэффициенты.
Квадратурная формула Гаусса

Значения и подбираются так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени 2n – 1.

Квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов.

Слайд 11

Метод Гаусса
– корни полиномов Лежандра;
Вычисление
Полиномы Лежандра

Слайд 12

Метод Гаусса
Весовые коэффициенты
Правые части
Метод Гаусса можно использовать для вычисления

несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования.

Демидович Б.П. Марон И.А. Основы вычислительной математики, с. 597

Слайд 13

Метод Гаусса
Координаты узлов и весовые коэффициенты
для метода Гаусса

Слайд 14

Вычисление интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования
1. Начальное значение шага интегрирования

.
2. Вычисление значения интеграла In с шагом h.
3. Значение шага h делится пополам и вычисление интеграла I2n ведется для шага h/2.
4. Если разность | In - I2n | < ɛ, то значение считается значением I2n интеграла, вычисленным с точностью ɛ.
Если разность | In - I2n | > ɛ, то продолжают деление шага и вычисляют значения I4n, I8n и т. д.

Слайд 15

Вычисление несобственных интегралов
Алгоритм
1. Задание начального значения b.
2. Вычисление значения интеграла Ib

с точностью ɛ/2.
3. Значение верхнего предела интегрирования увеличивается вдвое и вычисление интеграла I2b .
4. Если разность | Ib - I2b | < ɛ/2, то значение считается значением I2b несобственного интеграла, вычисленного с точностью ɛ.
Если разность | Ib - I2b | > ɛ/2, то продолжают деление шага и вычисляют значения I4b, I8b и т. д.

f(x) непрерывна на a≤x≤∞

Слайд 16

Вычисление несобственных интегралов
Для вычисления несобственного интеграла лучше всего использовать метод Гаусса,

который обеспечивает более высокую точность вычисления при небольшом числе узлов.

Слайд 17

Задание
Вычислить значение интеграла в MathCAD.
Написать программу для вычисления интеграла с использованием

метода трапеций.
Написать программу для вычисления интеграла с использованием метода Симпсона.
Написать программу для вычисления интеграла с использованием метода Гаусса.
Написать программу для вычисления интеграла с заданной точностью*.
Написать программу для вычисления несобственного интеграла*.

Слайд 18

Контрольные вопросы
1. Алгоритмы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса).

Составить программы с использованием этих методов.
2. Вывод формул для методов трапеций и Симпсона.
3. Виды погрешностей при вычислении интегралов.
4. Алгоритм вычисления интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования.
5*. Программа вычисления интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования.
6. Алгоритм вычисления несобственного интеграла.
7*. Программа вычисления несобственного интеграла.
8. Численное и аналитическое вычисление интегралов в системе MathCAD.

Численное интегрирование

Содержание

В каких случаях необходимо использовать численное интегрирование? интеграл не вычисляется аналитически;подынтегральная

Методы:Численное интегрирование метод прямоугольников;метод трапеций;метод Симпсона (парабол);метод Гаусса.В основе численных методов

Методы прямоугольников метод левых прямоугольников;метод правых прямоугольников;метод средних прямоугольников.

Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Метод средних прямоугольников

Метод трапецийТочность интегрирования Формула трапеций

Метод Симпсона (парабол)Точность интегрирования Количество интервалов Формула СимпсонаПлощадь параболы

Метод Гаусса – относительные координаты узлов; – весовые коэффициенты.Квадратурная формула Гаусса

Метод Гаусса – корни полиномов Лежандра;Вычисление Полиномы Лежандра

Метод Гаусса Весовые коэффициенты Правые частиМетод Гаусса можно использовать для вычисления

Метод Гаусса Координаты узлов и весовые коэффициенты для метода Гаусса

Вычисление интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования1. Начальное значение шага интегрирования

Вычисление несобственных интеграловАлгоритм1. Задание начального значения b.2. Вычисление значения интеграла Ib

Вычисление несобственных интеграловДля вычисления несобственного интеграла лучше всего использовать метод Гаусса,

ЗаданиеВычислить значение интеграла в MathCAD.Написать программу для вычисления интеграла с использованием

Контрольные вопросы1. Алгоритмы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса).

Похожие презентации