Численные методы

Цель лекции

Изучить два метода вычисления корней нелинейных уравнений, а именно:
Метод хорд

Прежде чем приступить к изучению новых методов решения нелинейных уравнений, вспомним

Для того, чтобы найти графически интервалы изоляции действительных корней данного скалярного

Метод хорд (метод секущих)
Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения
f

График функции у = f(х).

Точки графика A(a; f(a)) и B(b; f(b)) соединим хордой.
За

Это приближенное значение находится по формуле
(b – a) f (a)

Пусть, например, f(х1)<0, тогда за новый (более узкий) промежуток изоляции корня

Последовательность чисел а, х1, х2,... стремится к искомому корню уравнения.
Если

Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор ,

Алгоритм выполнения задачи

Методом хорд решить уравнение f(х)=0 с точностью до

1). Найдем f(а), для этого в f(х) вместо х подставим а.

4). Найдем f(x1) для этого в f(x) вместо х подставим x1.
5).

7). Найдем второе приближение корня в случае а) по формуле:

8). Найдем f(x2) , для этого в f(х) вместо x подставим

10). Вычисление приближенных корней уравнения ведем до тех пор, пока не

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть корень уравнения f(х) = 0 изолирован

Проведем в точке М0(x0; f(x0)) касательную к кривой у = f(х).
За

График заданной функции

Применив этот прием вторично в точке М1(x1;f(x1)), найдем
f (x1)
x2

Полученная таким образом последовательность х0, х1, х2,…имеет своим пределом искомый корень.

Алгоритм выполнения задачи

Методом касательных (методом Ньютона) решить уравнение f(х) = О

3) Найдем f'(х0 ).
4). Найдем первое приближенное значение корня х1 по

7). Таким образом находим n-ое приближенное значение корня хn по формуле:

8). Вычисление приближенных значений корней уравнения ведем до тех пор,

9). Результаты вычислений занесем в таблицу: