Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков. Лекция 2

Июль 22, 2022

Главная
Математика
Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков. Лекция 2

Содержание

2. Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков Замечание. Число a является приближением точного числа A с
3. Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков Пример. Известно, что число a = 9,27 является приближением
4. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков Теорема. Если приближенное число а имеет n
5. Оценивание погрешностей элементарных действий Погрешность суммы. Теорема. 1 Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не
6. Оценивание погрешностей элементарных действий Правила сложения приближенных чисел Выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других,
7. Оценивание погрешностей элементарных действий Правила сложения приближенных чисел Пример (продолжение).. Полная погрешность результата: суммы предельных погрешностей
8. Оценивание погрешностей элементарных действий Теорема о предельной относительной погрешности суммы Теорема 2. Если слагаемые одного знака,
9. Оценивание погрешностей элементарных действий Теорема о предельной относительной погрешности суммы (продолжение) Если обозначить тогда, очевидно, то
10. Оценивание погрешностей элементарных действий Погрешность разности Рассмотрим разность двух приближенных чисел: Ранее установили, что Тогда относительная
11. Оценивание погрешностей элементарных действий Погрешность разности. Пример.
12. Оценивание погрешностей элементарных действий Погрешность произведения. Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля,
13. Оценивание погрешностей элементарных действий Погрешность произведения. Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей
14. Оценивание погрешностей элементарных действий Число верных знаков произведения. Пусть имеем произведение n сомножителей (n ≤ 10)
15. Если , то . Следовательно, Вывод: относительная погрешность частного двух приближенных чисел, отличных от нуля, не
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков
Замечание. Число a является приближением

точного числа A с n верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n –ой значащей цифрой приближенного числа.

Если для приближенного числа a

заменяющего точное число A, известно, что

то, по определению, первые n цифр этого числа

являются верными в широком смысле.

Пример. Для точного числа A = 412,3567 число a = 412,356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, так как

Так как m=2 для числа А, m-n+1=-3 ? 2-n+1=-3 ? n=6.

Слайд 3

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков
Пример. Известно, что число a

= 9,27 является приближением числом некоторого точного значения. Известно, что в приближённом числе a три верных знака в широком смысле. Какого значения может достигать абсолютная погрешность этого числа?
Решение: по определению, число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если абсолютная погрешность не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n –ой значащей цифрой приближенного числа:

Так как в числе a три верных цифры в широком смысле, то выполняется соотношение:

То есть, единица разряда последней значащей цифры.

Слайд 4

Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков
Теорема. Если приближенное

число а имеет n верных знаков, то
/* */
Следствие 1. За предельную относительную погрешность можно принять
Следствие 2. Если число a имеет не менее 2-х верных значащих цифры, то за предельную относительную погрешность можно взять величину
Пример. Какова предельная относительная погрешность, если вместо π взять 3.14?
В данном случае am = 3, n = 3 (верных знака), тогда

Слайд 5

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность суммы.
Теорема. 1 Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких

приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.
Доказательство.
Пусть - данные приближенные числа.
Рассмотрим их алгебраическую сумму
Тогда, по определению погрешности:
Или
Следовательно, по свойству абсолютной величины, следует
ЧТД
Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых

Слайд 6

Оценивание погрешностей элементарных действий
Правила сложения приближенных чисел
Выделить числа, десятичная запись которых

обрывается ранее других, и оставить их без изменения;
Остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака;
Произвести сложение данных чисел, учитывая все сохранённые знаки
Полученный результат округлить на один знак.
Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры (в широком смысле).
1. Выделяем числа с наименьшей точностью 345,4 и 235,2.
(какого значения может достигать абсолютная погрешность для этих чисел?)
2, 3. 0,35+0,18+345,4+235,2+11,75+9,27+0,08+0,02+0,00=602,25
4. 602,2.
.

Слайд 7

Оценивание погрешностей элементарных действий
Правила сложения приближенных чисел
Пример (продолжение)..
Полная погрешность результата:
суммы предельных

погрешностей исходных данных
абсолютной величины суммы ошибок (с учётом их знаков) округления слагаемых
заключительной погрешности округления результата
Следовательно,
Таким образом, искомая сумма есть
602,2 ±0 ,3

Слайд 8

Оценивание погрешностей элементарных действий
Теорема о предельной относительной погрешности суммы
Теорема 2. Если

слагаемые одного знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.
Доказательство. Пусть
и все xi > 0 (i = 1, 2, …,n).
Точное значение суммы u: А=А1+А2+…+Аn. (Ai >0, i=1,2,…,n).
По определению предельной погрешности:
(1)
Так как , то
Подставим это выражение в формулу (1):

Слайд 9

Оценивание погрешностей элементарных действий
Теорема о предельной относительной погрешности суммы (продолжение)
Если обозначить

тогда, очевидно,
то есть
ЧТД
// Теорема 2. Если слагаемые одного знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

Слайд 10

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность разности
Рассмотрим разность двух приближенных чисел:
Ранее установили, что

Тогда относительная погрешность разности:
где A – точное значение абсолютной величины разности чисел
Замечание: При вычитании приближённых чисел, которые достаточно близки
друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, происходит потеря точности.

Слайд 11

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность разности. Пример.

Слайд 12

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность произведения.
Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел,

отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство. Пусть и все сомножители положительны.
Тогда
Используя известный результат из мат. анализа (дифференциал первого порядка), приближенно можно записать:
Тогда
И следовательно,
Как отмечалось раньше,
Откуда и заключаем, что ЧТД.

Слайд 13

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность произведения.
Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме

предельных относительных погрешностей сомножителей:
Если все сомножители произведения u весьма точны, за исключением одного, то предельная относительная погрешность произведения в этом случае будет практически совпадать с предельной относительной погрешностью множителя, обладающего наименьшей точностью.
Частный случай. Пусть u=k*a, к – точная числовая константа ≠ 0. Тогда имеем
δu= δа ,
Δu=|k| Δa.

Слайд 14

Оценивание погрешностей элементарных действий
Число верных знаков произведения.
Пусть имеем произведение n сомножителей

(n ≤ 10)
каждый из которых имеет по крайней мере m (m > 1) верных цифр.
Пусть - первые значащие цифры в десятичной записи множителей:
Тогда, используя формулу взаимосвязи количества верных знаков и относительной погрешности, получаем:
Так как предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, то
Так как
то
В самом неблагоприятном случае произведение u имеет m - 2 верных знака.

Слайд 15

Если
,
то
.
Следовательно,
Вывод: относительная погрешность частного двух приближенных чисел, отличных

от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Оценивание погрешностей элементарных действий

Погрешность частного

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков. Лекция 2

Содержание

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаковЗамечание. Число a является приближением

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаковПример. Известно, что число a

Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаковТеорема. Если приближенное

Оценивание погрешностей элементарных действийПогрешность суммы.Теорема. 1 Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких

Оценивание погрешностей элементарных действийПравила сложения приближенных чиселВыделить числа, десятичная запись которых

Оценивание погрешностей элементарных действийПравила сложения приближенных чиселПример (продолжение)..Полная погрешность результата:суммы предельных

Оценивание погрешностей элементарных действийТеорема о предельной относительной погрешности суммыТеорема 2. Если

Оценивание погрешностей элементарных действийТеорема о предельной относительной погрешности суммы (продолжение)Если обозначить

Оценивание погрешностей элементарных действийПогрешность разностиРассмотрим разность двух приближенных чисел:Ранее установили, что

Оценивание погрешностей элементарных действийПогрешность разности. Пример.

Оценивание погрешностей элементарных действийПогрешность произведения.Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел,

Оценивание погрешностей элементарных действийПогрешность произведения.Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме

Оценивание погрешностей элементарных действийЧисло верных знаков произведения.Пусть имеем произведение n сомножителей

Если ,то .Следовательно,Вывод: относительная погрешность частного двух приближенных чисел, отличных

Похожие презентации