Дифференцируемость функции

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Дифференцируемость функции

Содержание

2. Определение: Дифференциальное исчисление Дифференцируемость функции где А – некоторое число; о(Δx) – бесконечно малая функция более
3. Теорема: Дифференциальное исчисление Дифференцируемость функции Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то она
4. Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Из определения дифференцируемости функции и её производной получаем, что Если то Значит,
5. Определение: Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Таким образом, по определению Главная линейная часть приращения функции f (x)
6. Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х. То есть, приращение и дифференциал независимой переменной
7. Дифференциальное исчисление Перепишем выражение для дифференциала функции в виде Пусть y = f (x) – некоторая
8. Дифференциальное исчисление Свойства дифференциала функции Для дифференциалов двух функций f (x) и g(x) справедливы следующие формулы:
9. Пример: Решение: в точке х0 = 1. Найти дифференциал функции Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Автор: И.В.
10. Дифференциальное исчисление Приложения дифференциала функции С помощью дифференциала можно приближённо вычислять значения функции f (x) для
11. Пример: Решение: Вычислить приближённо Дифференциальное исчисление Приложения дифференциала функции Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей
12. Пусть f (x) – сложная дифференцируемая функция, где x = ϕ (t) – дифференцируемая функция. Дифференциальное
13. Дифференциал функции всегда равен произведению её производной на дифференциал аргумента и не зависит от того, является
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение:
Дифференциальное исчисление
Дифференцируемость функции
где А – некоторое число; о(Δx) – бесконечно малая

функция более высокого порядка малости, чем Δx при

Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х0,
если её приращение в этой точке может быть представлено
в виде

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 3

Теорема:
Дифференциальное исчисление
Дифференцируемость функции
Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 ,

то она непрерывна в ней.

Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная f ’(x0) = A.

Следствие:

Обратное утверждение неверно.

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 4

Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Из определения дифференцируемости функции и её производной получаем, что
Если
то
Значит,

при

имеем

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 5

Определение:
Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Таким образом, по определению
Главная линейная часть приращения функции f

(x) в точке х0 называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается df (x0).

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 6

Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Рассмотрим функцию у = х.
То есть, приращение и дифференциал

независимой переменной равны между собой:

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Найдём её дифференциал:

С другой стороны, имеем:

Значит, можно записать:

Слайд 7

Дифференциальное исчисление
Перепишем выражение для дифференциала функции в виде
Пусть y = f

(x) – некоторая функция.

Это выражение представляет собой уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке х0.

Геометрический смысл дифференциала функции

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 8

Дифференциальное исчисление
Свойства дифференциала функции
Для дифференциалов двух функций f (x) и g(x)

справедливы следующие формулы:

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 9

Пример:
Решение:
в точке х0 = 1.
Найти дифференциал функции
Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Автор: И.В. Дайняк,

к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 10

Дифференциальное исчисление
Приложения дифференциала функции
С помощью дифференциала можно приближённо вычислять значения функции

f (x) для значений x, близких к некоторому значению x0.

Имеем:

Тогда

или

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Слайд 11

Пример:
Решение:
Вычислить приближённо
Дифференциальное исчисление
Приложения дифференциала функции
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики

БГУИР

Слайд 12

Пусть f (x) – сложная дифференцируемая функция, где x = ϕ

(t) – дифференцируемая функция.

Дифференциальное исчисление

Дифференциал сложной функции

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Найдём её дифференциал.

Если х – независимая переменная, то

Если независимой переменной является t, то

где

Слайд 13

Дифференциал функции всегда равен произведению её производной на дифференциал аргумента и

не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, независимой переменной или функцией другой переменной.

Дифференциальное исчисление

Инвариантность формы первого дифференциала

Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Из приведенных выше формул имеем:

то есть производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции и её аргумента независимо от того, является х независимой переменной или является функцией другой переменной.