Содержание
- 2. Функция n переменных Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x,y,z,…,t, если каждой системе значений x,y,z,…,t,
- 3. Функция двух переменных Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x,y
- 4. Частные производные первого порядка Частной производной от функции z =f(x,y) по независимой переменной х называется конечный
- 5. Полный дифференциал Полный дифференциал функции z =f(x,y) вычисляется по формуле Полный дифференциал функции трех аргументов u
- 6. Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка от функции z =f(x,y) называются частные производные от
- 7. Дифференциалы высших порядков Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x,y) называется дифференциал от ее пологого Дифференциалы высших
- 8. Дифференцирование сложных функций Пусть z=f(x,y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x,y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная
- 9. Дифференцирование неявных функций Производные неявной функции двух переменных z=f(x,y), заданной с помощью уравнения F(x,y,z)=0, могут быть
- 10. Экстремум функции Функции z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0;y0) если значение функции в этой точке
- 11. Пусть M0(x0;y0) - стационарная точка функции z=f(x,y). Обозначим И составим дискриминант Δ=AC-B2. Тогда: Если Δ>0, то
- 12. Неопределённый интеграл
- 13. Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b), если в каждой точке
- 14. Неопределённый интеграл Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и
- 15. Свойства неопределённого интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна
- 16. 3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
- 17. Таблица неопределённых интегралов
- 18. Основные методы интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения)
- 19. При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):
- 20. Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования.
- 21. Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям Формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла
- 22. Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная
- 23. Найдем интегралы от простейших дробей
- 24. Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t,
- 25. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать
- 26. 3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: 4) Вычислить неопределенные коэффициенты А1, А2, …, Аm,
- 27. Интегрирование простейших иррациональных функций Интегралы вида где R – рациональная функция; m1,n1,m2,n2,…- целые числа. С помощью
- 28. 3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком
- 29. 4.Интегралы вида С помощью подстановки х-α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п.2 5. Интеграл вида где
- 30. 6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа. Как доказал П.Л. Чебышев,
- 31. Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида где R – рациональная функция. Под знаком интеграла находится рациональная функция
- 34. Определенный интеграл
- 35. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм при условии, что длина
- 36. Если f(x)>0 на отрезке [a;b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции - фигуры,
- 37. Свойства определенного интеграла
- 39. Правила вычисления определенных интегралов Формула Ньютона-Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F(x)‘= f(x). 2.
- 40. 3. Замена переменной где х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ (t) на отрезке
- 41. Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный
- 42. При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f(x) и φ(x)
- 43. Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a и x=b и
- 44. Вычисление длины дуги плоской кривой Если кривая у=f(x) на отрезке [a;b] – гладкая (т.е. производная у’=f’(x)
- 45. Вычисление объема тела 1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела
- 46. Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь
- 47. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- 48. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой
- 49. Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y′) = 0 или y′= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную,
- 50. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y
- 51. Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено
- 52. Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при ,называется задачей Коши
- 53. Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется
- 54. Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y′= или
- 55. Линейные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит у и у‘
- 56. Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид , где и Его, как и
- 57. Дифференциальные уравнения 2-го порядка Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется
- 58. Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для
- 59. Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные
- 60. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение , не
- 61. Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Если все коэффициенты этого уравнения
- 62. Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения , то и Су(х),
- 63. Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и -решения уравнения, то и их сумма также
- 64. Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если
- 65. Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и
- 66. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если и -линейно независимые частные решения
- 68. Скачать презентацию