Дискретні випадкові величини. Поняття випадкової величини

величини X називається сума добутків всіх можливих значень величини X на відповідні ймовірності:
Теорема:
Математичне очікування дискретної випадкової величини X приблизно дорівнює середньому арифметичному всіх її значень (при досить великій кількості випробувань)

М(СХ) = СМ(X)
М(Х+У) = М(Х) + М(У)

М(Х-У) = М(Х) - М(У)
М(Х ⋅ У) = М(Х) ⋅ М(У)
Дисперсія дискретної випадкової величини

М(Х) = −2⋅0,4 + 0⋅0,2 + 2⋅0,4 = 0,0; М(У) = −100⋅0,3 + 0⋅0,4+ 100⋅0,3 = 0,0.

Незважаючи на те що МО величин X і У однакові проте можливі значення величин X і У «розкідані» або «розсіяні» близько своїх МО по різному: можливі значення величини X розташовані набагато ближче до свого МО, ніж значення величини У.

М(Х) (або просто відхиленням випадкової величини X) називається випадкова величина [X - М(Х)].
Видно, що для того, щоб відхилення випадкової величини X прийняло значення x1- М(Х)
достатньо, щоб випадкова величина X прийняла значення x1.

М[X− М(Х)] = М(Х) − М[М(X)] = М(Х) − М(X) = 0

Теорема:
Математичне очікування відхилення випадкової величини від власного математичного очікування дорівнює нулю.

квадрата відхилення випадкової величини X від її МО:

Дисперсія є мірою розсіяння значень випадкової величини відносно середнього значення розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

← Приклад двох сукупностей із однаковим середнім значенням але різною дисперсією.
Червоним позначено вибірку із середнім 100 і дисперсією 100, а синім показано вибірку із середнім 100 і дисперсією 2500.

найпоширеніших показників розсіювання (розкиду) значень випадкової величини відносно її математичного сподівання, тобто центру розподілу.
Має ту ж розмірність, що і випадкова величина. В літературі для позначення стандартного відхилення використовується літера грецької абетки сигма σ:

За визначенням середнє квадратичне відхилення є квадратним коренем із дисперсії. Як і дисперсія характеризує розсіяння значень навколо центру розподілу: більшому значенню стандартного відхилення відповідає більший їх розкид. Практична перевага середнє квадратичного відхилення як міри розсіяння в порівнянні з дисперсією полягає в тому, що його розмірність збігається з розмірністю випадкової величини, в той час як розмірність дисперсії — квадрат розмірності випадкової величини.

Іноді середнє квадратичне відхилення називають «стандартною похибкою»

причому ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від результату інших випробувань (незалежні випробування). q = 1 – р.
Знайдемо ймовірність того, що при n випробуваннях подія А настане m раз.

← Формула Бернуллі

подія А з ймовірністю р.
Позначимо через X випадкову величину, рівну числу появ події А в n випробуваннях.

↑ закон біноміального розподілу ↑

М(Хi) = 0q +1p = p

М(Х) =np

1, 2, 3, ...), причому ймовірність появи цієї події А в цій серії Р(А) = рn > 0 залежить від її номера n і прагне до нуля при .

прп = μ = const →

← формула Пуассона

ця величина задана таблицею:

*Розподіл Пуассона є граничною формою біноміального розподілу.