Дробно - линейная функция и ее график (11 класс)

изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков дробно-линейной.
Задачи: 1. сформировать понятия дробно-линейной функций на основе теоретического материала по данной теме;
2. найти методы построения графиков дробно-линейной функции;
3. показать, как можно использовать, полученные знания на практике .

c и d- заданные числа, при с≠0, bc-ad≠0 называется
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ.

Графиком дробно-линейной функции является гипербола

у = к/х НА АСИМПТОТАХ КАК НА ОСЯХ

Получаем функцию вида у= -1/(х-1) + 2
Асимптотами являются прямые х = 1 и у =2
Строим асимптоты, а затем на них как на осях построим график функции у= -1/х
График на следующем слайде

найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Предположим, х=0 и определим точку пересечения с осью ординат у = 2. Теперь предположим, у = 0, получим уравнение 0=х+4 и найдем точку пересечения с осью абсцисс х = -4. Построим точки А(0;2) и В(-4;0).
Определим асимптоты графика функции. Вертикальную асимптоту находим из условия, что функция не определена, т.е. х+2=0, откуда х=-2. Поведение функции при больших значениях х (|х|→∞) определяет горизонтальную асимптоту. При таких значениях х в числители дроби можно пренебречь числом 4, в знаменателе числом 2. Тогда получаем горизонтальную асимптоту у = 1. Построим асимптоты графика х = -2 и у = 1.
При построении графика функции учтем:
Ветви графика симметричны относительно точки Е пересечения асимптот;
График функции не пересекает асимптоты.

-(х+2)/(х+2), -3≤х≤0
(х-2)/(х+2), х > 0
Построим графики полученных функций: на промежутке(-∞;-3) гиперболу у=(х+2)/(х+4);
На отрезке [-3;0] прямую у=-(х+2)/(х+2), учитывая что в точке х=-2 функция не существует;
На промежутке (-3;∞) гиперболу у=(х-2)/(х+2).

графика функции у = (х-1)/(х+1) ? Найти координаты точки касания. Изобразить графически.

Мы уже знаем, что графиком функции у =(х-1)/(х+1) - является гипербола с вертикальной асимптотой х=-1 и горизонтальной асимптотой у=1.
Графиком функции у = ах+1 является прямая. Координаты точки касания должны удовлетворять системе уравнений у= ах+1
(х-1)/(х+1)
При этом система должна иметь единственное решение.

при которых прямая у = kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Найдем область определения данной функции
х2– х>0 или х(х – 1)>0
Откуда получаем x<0 и х>1.
Преобразуем функцию .
(х-1)/(√х²-х)²=(х-1)/(х·( х-1))=1/х
Значит наша функция на своей ООФ принимает вид у= 1/х.
Прямая у=kх имеет с графиком данной функции одну общую точку при k≥1.
Это задание из второй части, за правильное решение, которого можно получить максимальный балл(4 балла).

значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

ООФ являются все действительные числа.
Раскроем знак модуля:
у = х²-4х+1, если х≥0
-х²+4х+1, если х≤0  
Графиком каждой из этих функций является парабола.
Находим координаты вершин парабол, нули функций и точки пересечения с осью у. По этим характерным точкам строим график полученной функции, учитывая знаки модуля.
По графику видно, что прямая у=m, имеет ровно три общие точки, при mє (-3;1)

еще одну задачу из второй части, которая также оценивается максимальным баллом:
Найдем нули функции: х-1=0, и следовательно х=1; х+2=0, и следовательно х=-2.
Раскроем знаки модуля на каждом промежутке:
При х≤-2 получаем у = 2х -3(х-1) +4(х+2)-1=3х+10 – функция возрастает;
При -2≤х≤1 получаем у = 2х-3(х-1) – 4(х+2) -1= -5х-6 – функция убывает;
При х≥1 получаем у = 2х+ 3(х-1) – 4(х+2) -1= х -12 – функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках (-∞;-2] и [1;∞), функция убывает на промежутке [-2;1].

Нарисуем график функции у=x. Заменим каждую ординату величиной, ей обратной, и отметим соответствующие точки на рисунке. Получим график у=1/x.
Нарисованная картина показывает, как маленькая (по абсолютной величине) ордината первого графика превращается в большие ординаты второго и, наоборот - большие ординаты первого в маленькие ординаты второго. Точки с ординатами, равными 1 и (- 1), остаются на месте.
Этот приём "деления" графиков бывает полезен всегда, когда у нас есть график у=f(x), а нам нужно понять, как ведёт себя функция y=1/f(x).