Элементы теории множеств

Август 3, 2022

Главная
Математика
Элементы теории множеств

Содержание

2. Понятие множества Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить,
3. Обычно множества обозначают большими буквами: A,B,X N ,…, а их элементы – соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
4. Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества - большими. Принадлежность элемента m множеству
5. Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество
6. Способы задания множеств Существуют три способа задания множеств: 1) описание множества Примеры: Y={yΙ1≤y ≤10} –множество значений
7. Заданы два множества: и Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно.
8. Множество А называют подмножеством множества В (обозначается А⊆В ), если всякий элемент множества А является элементом
9. Множества А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда , А⊆В и В⊆А ,
10. Множество А называется собственным подмножеством множества В, если А⊆В, а В⊄А. Обозначается так: А⊂В. Например, Принято
11. Операции над множествами Объединением (суммой) множеств А и В (обозначается А∪В) называется множество С тех элементов,
12. Рассмотренные случаи наглядно проиллюстрированы на рисунке А,В А В А В
13. Пересечением множеств А и В называется новое множество С, которое состоит только из элементов одновременно принадлежащих,
14. Примеры: 1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А∩В= {1,2,3}. 2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А∩В={2,3} 3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А∩В=∅
15. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов принадлежащих только множеству А и
16. Даны два множества: А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}. Тогда: A∪B={1,2,3,b,c,d} B подмножество А А/В={1,c} A∩B={2,3,b,d}
17. Декартовое (прямое) произведение А и В - это новое множество С, состоящее из упорядоченных пар, в
18. Свойства:
19. Задача. Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский −
20. Решение: Только французский язык изучают 30 человек. Ни одного языка: 100-(13+5+3+7+30+2+20)=20 чел.
21. Задача 2. На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии.
22. Решение: 300+300+200+100=900 (чел.) 1000-900-100 (чел.) – не решили ни одной задачи.
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Понятие множества
Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что

для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет

Слайд 3

Обычно множества обозначают большими буквами: A,B,X N ,…, а их элементы

– соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
В частности, приняты следующие обозначения:
ℕ – множество натуральных чисел;
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел (числовая прямая).
– множество комплексных чисел. И верно следующее:
N⊂ Z⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Слайд 4

Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества -

большими. Принадлежность элемента m множеству M обозначается так: m∈M, где знак ∈ является стилизацией первой буквы греческого слова

(есть, быть),

знак непринадлежности:

Слайд 5

Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми.
Множество, содержащее конечное число

элементов, называется конечным.
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается Ø.
Например:
множество студентов 1курса - конечное множество;
множество звезд во Вселенной - бесконечное множество;
множество студентов, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.

Слайд 6

Способы задания множеств
Существуют три способа задания множеств:
1) описание множества
Примеры: Y={yΙ1≤y ≤10}

–множество значений у из отрезка [1;10]
X={xIx>2} – множество всех чисел х, больших 2.
2) перечисление множества
Примеры:
А={а,б,в}- три начальные буквы русского алфавита
N={1,2,3…}-натуральные числа
3)графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Слайд 7

Заданы два множества: и Если элементов множеств немного, то они могут

на диаграмме указываться явно.

Слайд 8

Множество А называют подмножеством множества В (обозначается А⊆В ), если всякий

элемент множества А является элементом множества В:

см.рис 1.1

Рис. 1.1

При этом говорят, что В содержит А, или В покрывает А

Невключение множества С в множество В, обозначается так:

Слайд 9

Множества А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда

, А⊆В и В⊆А , т. е. элементы множеств А и В совпадают.
Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны. Множество С – это множество А, только в нем элемент 3 записан дважды.
Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ
Семейством множеств называется множество, элементы которого сами являются множествами.
Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее из трех множеств.
Каждое непустое подмножество А≠ Ø имеет по крайней мере два различных подмножества: само множество А и Ø.

Слайд 10

Множество А называется собственным подмножеством множества В, если А⊆В, а В⊄А.

Обозначается так: А⊂В.
Например,

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Мощностью конечного множества М называется число его элементов. Обозначается |M|
Например, |B|=6. |A|=3.

Слайд 11

Операции над множествами
Объединением (суммой) множеств А и В (обозначается А∪В) называется

множество С тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Возможны три случая:
1) А=В;
2) множества имеют общие элементы;
3) множества не имеют общих элементов.
Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А∪В= {1,2,3}.
2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А∪В={1,2,3,4,5,6}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А∪В={1,2,3,4,6,8}

Слайд 12

Рассмотренные случаи наглядно проиллюстрированы на рисунке
А,В
А
В
А
В

Слайд 13

Пересечением множеств А и В называется новое множество С, которое состоит

только из элементов одновременно принадлежащих, множествам А, В
Обозначение С=А ∩В
Возможны три случая:
1) А=В
2) множества имеют общие элементы
3) множества не имеют общих элементов.

Слайд 14

Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А∩В= {1,2,3}.
2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А∩В={2,3}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8},

тогда А∩В=∅

Слайд 15

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов

принадлежащих только множеству А и не принадлежащих В.
Обозначение: С=А\В

Слайд 16

Даны два множества:
А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}.
Тогда:
A∪B={1,2,3,b,c,d}
B подмножество А
А/В={1,c}
A∩B={2,3,b,d}

Слайд 17

Декартовое (прямое) произведение А и В - это новое множество С,

состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент пары берется из множества А, а второй из В.
А={1,2,3}
В={4,5}
С=А×В = {(1;4); (1;5); (2;4); (2;5); (3;4); (3;5)}
D=B×A = {(4;1); (4;2); (4;3); (5,1); (5;2); (5;3)}
A×B ≠ В × А, кроме если А=В (в этом случае равенство выполняется)
Мощность декартова произведения равна произведению мощностей множеств А и В:
|А × В|=|А |∙ | В |

Слайд 18

Свойства:

Слайд 19

Задача.
Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные

иностранные языки: испанский − 28; немецкий − 30; французский − 42; испанский и немецкий − 8; испанский и французский − 10; немецкий и французский − 5; все три языка − 3.
а) Сколько студентов не изучают ни одного языка?
б) Сколько студентов изучают один французский язык?

Слайд 20

Решение:
Только французский язык изучают 30 человек.
Ни одного языка: 100-(13+5+3+7+30+2+20)=20 чел.

Слайд 21

Задача 2.
На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по

алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Слайд 22

Элементы теории множеств

Содержание

Понятие множества Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что

Обычно множества обозначают большими буквами: A,B,X N ,…, а их элементы

Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества -

Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число

Способы задания множествСуществуют три способа задания множеств:1) описание множестваПримеры: Y={yΙ1≤y ≤10}

Заданы два множества: и Если элементов множеств немного, то они могут

Множество А называют подмножеством множества В (обозначается А⊆В ), если всякий

Множества А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда

Множество А называется собственным подмножеством множества В, если А⊆В, а В⊄А.

Операции над множествамиОбъединением (суммой) множеств А и В (обозначается А∪В) называется

Рассмотренные случаи наглядно проиллюстрированы на рисункеА,ВАВАВ

Пересечением множеств А и В называется новое множество С, которое состоит

Примеры:1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А∩В= {1,2,3}.2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А∩В={2,3}3) A={1,2,3}, B={4,6,8},

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов

Даны два множества: А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}.Тогда:A∪B={1,2,3,b,c,d}B подмножество АА/В={1,c}A∩B={2,3,b,d}

Декартовое (прямое) произведение А и В - это новое множество С,

Свойства:

Задача.Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные

Решение:Только французский язык изучают 30 человек.Ни одного языка: 100-(13+5+3+7+30+2+20)=20 чел.

Задача 2.На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по

Решение:300+300+200+100=900 (чел.)1000-900-100 (чел.) – не решили ни одной задачи.

Похожие презентации