Формирование глобальной матрицы и вектор-столбца

Соответствие между глобальными и локальными обозначениями имеет вид

где G – глобальная матрица жёсткости (теплопроводности) размером М х М;

Схематичный вид глобальной ленточной матрицы
Символами «х» обозначены ненулевые коэффициенты
(L+1) - ширина

Рассмотрение некоторых краевых задач с помощью МКЭ

Наша конечная цель – получить

Рассмотрим одномерный поток тепла в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью

К закреплённому

Уравнения (11) и (12) идентичны исходным уравнениям (9).
Поэтому любое распределение температуры,

Мы будем минимизировать функционал (10), используя множество функций-элементов, каждая из которых

Реализация МКЭ начинается с определения подобластей элементов) и их узловых точек.
Стержень

В процедуре минимизации функционала важно то, что интегральная величина χ разбивается

Если каждое из слагаемых в (25) будет равно нулю, то и

Интерполяционные полиномы для дискретизированной области

Для скалярных величин
Для векторных величин

Мы хотим включить каждый элемент в рассматриваемую область и выразить через

Интерполяционный полином для элемента е в общей форме имеет вид:
где r

i-узел в каждом элементе (т.е. первый узел в элементе) выделен (*).
Узлы

Значения индексов i, j, k (рис. 8) могут быть подставлены в

Т.о, конечные элементы объединяются в ансамбль (в системе (8)), а интерполяционные

Векторные величины

Включение элемента при рассмотрении векторных величин проводится с помощью рассуждений,

Свойства интерполяционного полинома

Полиномиальные уравнения были использованы для аппроксимации скалярных и векторных

Сходимость

Решение, полученное методом конечных элементов, будет сходиться к точному решению с

Непрерывность

Дискретная модель для непрерывной функции строится на множестве кусочно непрерывных функций,

Преимущества МКЭ
Свойства материалов смежных элементов могут быть разными. Это позволяет применять