Формирование растра. Понятие связности пикселей. Растровое представление отрезка. Алгоритмы растризации

XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.
Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье, его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.
Кривая Безье является частным случаем многочленов Бернштейна, описанных Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых.
Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.

Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением

где — функция компонент векторов опорных вершин, а — базисные функции
кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.
где — число сочетаний из n по i, где n — степень полинома, i — порядковый номер опорной вершины.

Историческая справка

http://www.chinapads.ru

прямой линии, опорные точки P0 и P1 опреде-ляют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:
Квадратичные кривые
Квадратичная кривая Безье задаётся 3-мя опорными точками: P0, P1 и P2.
Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.
Кубические кривые
В параметрической форме кубическая кривая Безье описывается следующим уравнением:

http://www.chinapads.ru

Кубическая кривая Безье

Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в 2-х или 3-мерном пространстве определяют форму кривой.
Линия берёт начало из точки P0 направляясь к P1 и заканчивается в точке P3 подходя к ней со стороны P2.
Т.е. кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P0 и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.

матрицей Безье:

В современных графических системах, таких как PostScript, Metafont и GIMP для пред-ставления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Способы построения
кривых линий

Безье, определяет где именно на расстоянии от P0 до P1 находится B. Например, при t = 0,25 значение функции B соответствует четверти расстояния между точками P0 и P1. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B описывает отрезок прямой между точками P0 и P1.

Квадратичные кривые
Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q0 и Q1 из условия чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:
Алгоритм построения следующий
1. Точка Q0 изменяется от P0 до P1 и описывает линейную кривую Безье.
2. Точка Q1 изменяется от P1 до P2 и также описывает линейную кривую Безье.
3. Точка B изменяется от Q0 до Q1 и описывает квадратичную кривую Безье.

Построение квадратичной
кривой Безье

Кривые высших степеней
Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточ-ных точек.