Содержание
- 2. Вопросы Понятие функции двух и более переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Экстремум
- 3. 1. Рассмотрим функцию двух переменных. Опр. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у)
- 4. Опр. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Опр.
- 5. Опр. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0,
- 6. Опр. Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x,
- 7. Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва
- 8. 2. Дифференцирование функции нескольких переменных Опр. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y).
- 9. Можно записать Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
- 10. Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у:
- 11. Полное приращение и полный дифференциал Опр. Для функции f(x, y) выражение Δz = f( x +
- 12. где α1 и α2 – бесконечно малые функции при Δх → 0 и Δу → 0
- 13. Для функции произвольного числа переменных: Пример 1. Найти полный дифференциал функции .
- 14. *
- 15. Пример 2. Найти полный дифференциал функции Находим частные производные:
- 16. Получаем Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее
- 17. Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
- 18. Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. Опр. Частные производные вида и т.д.
- 19. Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у)
- 20. Пример 3. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функций 1) Решение. Рассматривая у как постоянную
- 21. Рассматривая х как постоянную величину, найдем Далее,
- 22. * Имеем,
- 23. 2) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим Рассматривая х как постоянную величину, найдем
- 24. Далее,
- 25. * Имеем,
- 26. 3. Экстремум функции нескольких переменных Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой
- 27. Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки
- 28. Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой
- 29. Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные
- 30. Если Δ(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
- 31. *Пример 4. Найти экстремум функции Решение. Найдем частные производные первого порядка: Используя необходимые условия экстремума, находим
- 32. * Откуда х = 0, у = 3; М(0;3). Находим значения частных производных второго порядка в
- 33. *и составляем выражение Так как , то функция в точке М(0;3) имеет минимум. Значение функции в
- 34. Пример 5.Найти область определения функции Решение. Функция принимает действительное значение при условии т.е. Областью определения данной
- 35. Метод множителей Лагранжа Условный экстремум Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию
- 36. Тогда u = f(x, y(x)). В точках экстремума: =0 (1) Кроме того: (2)
- 37. Умножим равенство (2) на число λ и сложим с равенством (1).
- 38. Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент λ так, чтобы выполнялась система трех
- 39. Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при
- 40. Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5
- 41. Имеем . * Таким образом, функция имеет экстремум в точке
- 43. Скачать презентацию