Функциональные уравнения в школьном курсе математики

Июль 26, 2022

Главная
Математика
Функциональные уравнения в школьном курсе математики

Содержание

2. Цель работы - выяснить, что является функциональным уравнением и их системами, найти способы решения и составить
3. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ: ИЗУЧЕНИЕ И АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ; ПОИСК СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ; РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
4. Определение: Функциональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная при помощи образования сложной функции
5. Определение: Решением функционального уравнения называется всякая функция, при подстановке которой в функциональное уравнение вместо неизвестной функций
6. Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это Они задают такие свойства функций, как
7. Определение. Если в числовом множестве Х вместе с любым его элементом х содержится и элемент- х,
8. Определение. Если область определения функции y=f(x) является симметричным множеством и для любого аргумента х выполняется равенство
9. Пример Определим четность или нечетность функций:
10. - четная - нечетная -ни четная ни нечетная Решение - четная - четная
11. Определение. Если найдется такое чисто Т≠0, что для любых х из области определения функции y=f(x) выполняется
12. Из курса алгебры для 9 класса известно, что для функций y=sinx, y=cosx соответственно выполняется равенства sin(x+2π)=sinx,
13. Пусть функция у = f(х) возрастает на R. Решите уравнение: f(3х + 2) = f(4х2 +
14. Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Пример. Найти f(x) Решение 1) Пусть тогда 2) Подставим в
15. 4)Итак, получили два уравнения: 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением,
16. 1) Пусть, 2) Подставим в исходное уравнение, получим 3) Заменим z на получим или после преобразований
17. 4)Итак, получили два уравнения: 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением,
18. Тогда ответ:
19. Пример: 1) Заменим в уравнении x на 1-x, получим 2) Умножим обе части исходного уравнения на
20. Пример f(x)+xf(1-x)=1+x Заменим x на 1-x, получим f(1-x)+(1-x)f(x)=1+1-x Умножим обе части уравнения f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x на x и
21. Пример 2f(3-x)+3f(x-1)=2x-1 1)Пусть x=3-t, тогда уравнение принимает вид: 2∙f(3-3+t)+3f(3-t-1)=2(3-t)-1 2∙f(t)+3f(2-t)=5-2t 2)Пусть x=t+1, тогда исходное уравнение принимает
22. Пример Заменим x на получим или 2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим
23. …
24. Классические функциональные уравнения В математике есть несколько типов относительно простых функциональных уравнений, решения которых хорошо известны
25. Найти x, если Решение Рассмотрим уравнение: Получим: Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x) Проверим: -нечетная Значит f(2x+1)=f(-3x)
26. Решить неравенство: если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе Решение Умножим второе уравнение на -1 и
27. 2)Вернемся к системе: Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым: Получим: Введем замену Получим:
28. Решим неравенство: Ответ:
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Цель работы - выяснить, что является функциональным уравнением и их системами,

найти способы решения и составить образцовое пособие по изучению функциональных уравнений, также сборник задач для использования математическими классами.

Слайд 3

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ:
ИЗУЧЕНИЕ И АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ;
ПОИСК СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И

ИХ СИСТЕМ;
РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СОСТАВЛЕНИЕ СБОРНИКА
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ И СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Слайд 4

Определение: Функциональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная

при помощи образования сложной функции с известными функциями (т.е. неизвестная функция связана с известными с помощью операции композиции).

Слайд 5

Определение: Решением функционального уравнения называется всякая функция, при подстановке которой в

функциональное уравнение вместо неизвестной функций получаем истинное равенство двух функций.

Слайд 6

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это Они задают

такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность…

Слайд 7

Определение. Если в числовом множестве Х вместе с любым его элементом

х содержится и элемент- х, то данное числовое множество называется симметричными относительно начала координат.
Например, (-а;а), [-2;+2], (-∞;+∞)- симметричные множества,
а (-а;а], (-3;2)∪(2;4), [-1;5]- несимметричные множества.

Слайд 8

Определение. Если область определения функции y=f(x) является симметричным множеством и для

любого аргумента х выполняется равенство f(-x)=f(x), то функция называется четной функцией.
Определение. Если область определения функции y=f(x) является симметричным множеством и для любого аргумента х выполняется равенство f(-x)=-f(x), то функция называется нечетной функцией.

Четность и нечетность функции

Слайд 9

Пример
Определим четность или нечетность функций:

Слайд 10

- четная
- нечетная
-ни четная ни нечетная
Решение
- четная

- четная

Слайд 11

Определение. Если найдется такое чисто Т≠0, что для любых х из

области определения функции y=f(x) выполняется равенство f(x+T)=f(x), то функция называется периодической функцией. Здесь число Т≠0 называется периодом функции.

Слайд 12

Из курса алгебры для 9 класса известно, что для функций y=sinx,

y=cosx соответственно выполняется равенства sin(x+2π)=sinx, cos(x+2π)=cosx, а для функций y=tgx, y=ctgx соответственно выполняется равенства tg(x+π)=tgx, ctg(x+π)=ctgx. Следовательно, для функций y=sinx, y=cosx число T=2π, а для функций y=tgx, y=ctgx число T=π.

Слайд 13

Пусть функция у = f(х) возрастает на R.
Решите уравнение: f(3х

+ 2) = f(4х2 + х);

Есть такая теорема: если функция возрастает на промежутке Х, то каждое своё значение она принимает, в единственной точке.
Поэтому,
3х+2 = 4х2 + х;
4х2 -2х-2=0;
2х2 –x-1=0;
х1=1 и х2= -0,5
Ответ: х1=1 и х2= -0,5.

Пример

Слайд 14

Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки.
Пример. Найти f(x)
Решение
1) Пусть тогда
2)

Подставим в исходное уравнение, получим
3)Заменим z на получим или после преобразований
в правой части уравнения:

Слайд 15

4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и

сложим со 2-ым уравнением, получим:
Тогда

Слайд 16

1) Пусть,
2) Подставим в исходное уравнение, получим
3) Заменим z на
получим
или

после преобразований в правой части уравнения:

Пример:

Слайд 17

4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и

сложим со 2-ым уравнением, получим:

Слайд 18

Тогда ответ:

Слайд 19

Пример:
1) Заменим в уравнении x на 1-x, получим
2) Умножим обе части исходного уравнения
на

(-2) и сложим с уравнением

получим:

Слайд 20

Пример
f(x)+xf(1-x)=1+x
Заменим x на 1-x, получим f(1-x)+(1-x)f(x)=1+1-x
Умножим обе части уравнения f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x на x и вычтем

из уравнения f(x)+xf(1-x)=1+x, получим

Слайд 21

Пример
2f(3-x)+3f(x-1)=2x-1
1)Пусть x=3-t, тогда уравнение принимает вид:
2∙f(3-3+t)+3f(3-t-1)=2(3-t)-1
2∙f(t)+3f(2-t)=5-2t
2)Пусть x=t+1, тогда исходное уравнение принимает вид:
2f(3-t-1)+3f(t+1-1)=2t+2-1
2f(2-t)+3f(t)=2t+1
3)Умножим

обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:
-5f(t)=10-4t-6t-3
-5f(t)=7-10t
f(t)=2t-1,4
Ответ: f(x)=2x-1,4

Слайд 22

Пример
Заменим x на получим
или

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на

(-2) и сложим с исходным уравнением:
получаем

Слайд 23

…

Слайд 24

Классические функциональные уравнения

В математике есть несколько типов относительно

простых
функциональных уравнений, решения которых хорошо
известны каждому математику. Самым простым из них
является следующее уравнение для функций вида
у = kx
(оно рассматривалось еще Коши):
f(x + у) = f(x) + f(y) (15)
для всех действительных х.

Слайд 25

Найти x, если
Решение
Рассмотрим уравнение:
Получим:
Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x)
Проверим: -нечетная
Значит

f(2x+1)=f(-3x)
2x+1=-3x
x=-1/5

Пример

Слайд 26

Решить неравенство:
если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе
Решение
Умножим второе уравнение

на -1 и сложим с первым
1)Выразим из первого уравнения g(x-1):
Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1
Получим

Пример

Слайд 27

2)Вернемся к системе:
Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:
Получим:
Введем

замену
Получим:

Слайд 28

Функциональные уравнения в школьном курсе математики

Содержание

Цель работы - выяснить, что является функциональным уравнением и их системами,

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ:ИЗУЧЕНИЕ И АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ; ПОИСК СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И

Определение: Функциональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная

Определение: Решением функционального уравнения называется всякая функция, при подстановке которой в

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это Они задают

Определение. Если в числовом множестве Х вместе с любым его элементом

Определение. Если область определения функции y=f(x) является симметричным множеством и для

Пример Определим четность или нечетность функций:

- четная- нечетная-ни четная ни нечетнаяРешение - четная - четная

Определение. Если найдется такое чисто Т≠0, что для любых х из

Из курса алгебры для 9 класса известно, что для функций y=sinx,

Пусть функция у = f(х) возрастает на R. Решите уравнение: f(3х

Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Пример. Найти f(x)Решение1) Пусть тогда2)

4)Итак, получили два уравнения:5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и

1) Пусть, 2) Подставим в исходное уравнение, получим3) Заменим z наполучимили

4)Итак, получили два уравнения:5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и

Тогда ответ:

Пример:1) Заменим в уравнении x на 1-x, получим 2) Умножим обе части исходного уравнения на

Примерf(x)+xf(1-x)=1+xЗаменим x на 1-x, получим f(1-x)+(1-x)f(x)=1+1-x Умножим обе части уравнения f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x на x и вычтем

ПримерЗаменим x на получимили 2)Умножим обе части уравнения из п.1 на

…

Классические функциональные уравнения В математике есть несколько типов относительно

Найти x, еслиРешениеРассмотрим уравнение: Получим: Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x)Проверим: -нечетнаяЗначит

Решить неравенство:если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе РешениеУмножим второе уравнение

2)Вернемся к системе:Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:Получим:Введем

Решим неравенство:Ответ:

Похожие презентации

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ:
ИЗУЧЕНИЕ И АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ;
ПОИСК СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И

Пример
Определим четность или нечетность функций:

- четная
- нечетная
-ни четная ни нечетная
Решение
- четная

- четная

Пусть функция у = f(х) возрастает на R.
Решите уравнение: f(3х

Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки.
Пример. Найти f(x)
Решение
1) Пусть тогда
2)

4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и

1) Пусть,
2) Подставим в исходное уравнение, получим
3) Заменим z на
получим
или

4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и

Пример:
1) Заменим в уравнении x на 1-x, получим
2) Умножим обе части исходного уравнения
на

Пример
f(x)+xf(1-x)=1+x
Заменим x на 1-x, получим f(1-x)+(1-x)f(x)=1+1-x
Умножим обе части уравнения f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x на x и вычтем

Пример
Заменим x на получим
или

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на

Классические функциональные уравнения

В математике есть несколько типов относительно

Найти x, если
Решение
Рассмотрим уравнение:
Получим:
Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x)
Проверим: -нечетная
Значит

Решить неравенство:
если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе
Решение
Умножим второе уравнение

2)Вернемся к системе:
Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:
Получим:
Введем

Решим неравенство:
Ответ: