Гипербола. Кривая второго порядка

Июль 26, 2022

Главная
Математика
Гипербола. Кривая второго порядка

Содержание

2. Определение гиперболы Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые
3. Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким
4. Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на
5. Изображение гиперболы в координатной плоскости
6. Обозначения: Асимптоты гиперболы (красные кривые) , показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса
7. Эксцентриситет гиперболы
8. Директриса гиперболы
9. Вывод канонического уравнения: Введем обозначения: F1 и F2 – фокусы, разность расстояний |F2М–F1М|=2а, илиF2М–F1М=±2а. F1F2=2с (фокусное
10. Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются X и Y. Таким образом, M(X; Y). Так
11. Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для
12. Продолжение:
13. Типы гипербол:
14. Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается
15. Изображение равнобочной гиперболы на координатной плоскости:
16. Гипербола Киперта — гипербола определяемая с треугольником. Если треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным
17. Изображение гиперболы Киперта на координатной плоскости Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A,B,C),
18. Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в
19. Изображение гиперболы Фейербаха на координатной плоскости
20. Гипербола в жизни Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши предки наблюдали ветвь гиперболы
21. Вращая гиперболу вокруг каждой из осей, получают два гиперболоида вращения – однополостной и двуполостной Гиперболоиды вращения
22. Однополостной гиперболоид вращения обладает замечательным свойством — через каждую точку этого гиперболоида проходят две прямые линии,
23. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением: Двуполостной гиперболоид
24. Свойства однополостного гиперболоида использовал русский инженер В.Г. Шухов при строительстве радиостанции в Москве (башни Шухова). Она
25. Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта или морского судна
26. Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите».
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение гиперболы
Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух

отдельных кривых, которые не пересекаются. Формула гиперболы y = k/x, при условии, что k не равно 0. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.
Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Слайд 3

Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается

второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе. Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F1XF2.
Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

Свойства гиперболы

Слайд 4

Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при

повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.

Свойства гиперболы (Продолжение)

Слайд 5

Изображение гиперболы в координатной плоскости

Слайд 6

Обозначения:
Асимптоты гиперболы (красные кривые) , показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C.

Два фокуса гиперболы обозначены как F1 и F2.
Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D1 и D2.
Эксцентриситет e равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным).
Вершины гиперболы обозначены как ±a.
Параметры гиперболы обозначают следующее: a — расстояние от центра C до каждой из вершин b — длина перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного из каждой из вершин до пересечения с асимптотой c — расстояние от центра C до любого из фокусов,F1 и F2, θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

Слайд 7

Эксцентриситет гиперболы

Слайд 8

Директриса гиперболы

Слайд 9

Вывод канонического уравнения:
Введем обозначения: F1 и F2 – фокусы, разность расстояний |F2М–F1М|=2а, илиF2М–F1М=±2а.
F1F2=2с (фокусное расстояние), причем

по определению 2а<2с или а<с.
Введем прямоугольную систему координат. Ось Ох проходит через точки F1 и F2, как показано на рисунке; начало координат О – середина отрезка F1F2. Тогда координаты точек: F1(–с; 0) и F2(с; 0).
Согласно определению, гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

Слайд 10

Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются X и Y. Таким образом, M(X; Y). Так

как
то уравнение равносильно:
а оно, в свою очередь, равносильно:

Продолжение:

Слайд 11

Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид,

неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы попытаемся их преобразовать к более простому виду. Для этого проведем следующую цепочку преобразований:

Продолжение:

Слайд 12

Продолжение:

Слайд 13

Типы гипербол:

Слайд 14

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением xy = a2 / 2.Примером равнобочной гиперболы служит график функции y = 1 / x.
Равнобочная гипербола

Слайд 15

Изображение равнобочной гиперболы на координатной плоскости:

Слайд 16

Гипербола Киперта — гипербола определяемая с треугольником. Если треугольник общего положения, то эта гипербола

является единственным коническим сечением, проходящим через вершины ортоцентр (точка пересечения высот треугольника) и центроид (точка пересечения медиан треугольника).

Гипербола Киперта

Слайд 17

Изображение гиперболы Киперта на координатной плоскости
Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта

проходит через вершины (A,B,C), ортоцентр и центроид (G) треугольника.

Слайд 18

Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха.
Гипербола

Фейербаха

Слайд 19

Изображение гиперболы Фейербаха на координатной плоскости

Слайд 20

Гипербола в жизни
Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши

предки наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.

Слайд 21

Вращая гиперболу вокруг каждой из осей, получают два гиперболоида вращения –

однополостной и двуполостной

Гиперболоиды вращения

Слайд 22

Однополостной гиперболоид вращения обладает замечательным свойством — через каждую точку этого

гиперболоида проходят две прямые линии, целиком лежащие на нём.
Поэтому однополостной гиперболоид как бы соткан из прямых линий.

Однополостной гиперболоид

Слайд 23

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением:
Двуполостной

гиперболоид

Слайд 24

Свойства однополостного гиперболоида использовал русский инженер В.Г. Шухов при строительстве радиостанции

в Москве (башни Шухова). Она состоит из нескольких поставленных друг на друга однополостных гиперболоидов.
Также устроена и Эйфелева башня в Париже.

Применение гиперболоидов

Слайд 25

Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на

борту самолёта или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу, которые испускали их одновременно. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить место, где он находился.

Применение гиперболы для определения местонахождения

Слайд 26

Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться

вокруг Земли по круговой орбите».
При достижении «второй космической скорости, траектория спутника станет параболической и спутник никогда не вернётся в точку из которой он запущен».
При дальнейшем увеличении скорости, спутник будет двигаться по гиперболе и второй фокус появится с другой стороны (центры Земли всё время будут находиться в фокусе орбиты).

Гипербола и космические спутники

Гипербола. Кривая второго порядка

Содержание

Определение гиперболыГипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух

Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается

Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при

Изображение гиперболы в координатной плоскости

Обозначения:Асимптоты гиперболы (красные кривые) , показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C.

Эксцентриситет гиперболы

Директриса гиперболы

Вывод канонического уравнения: Введем обозначения: F1 и F2 – фокусы, разность расстояний |F2М–F1М|=2а, илиF2М–F1М=±2а.F1F2=2с (фокусное расстояние), причем

Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются X и Y. Таким образом, M(X; Y). Так

Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид,

Продолжение:

Типы гипербол:

Изображение равнобочной гиперболы на координатной плоскости:

Гипербола Киперта — гипербола определяемая с треугольником. Если треугольник общего положения, то эта гипербола

Изображение гиперболы Киперта на координатной плоскостиГипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта

Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха.Гипербола

Изображение гиперболы Фейербаха на координатной плоскости

Гипербола в жизниГипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши

Вращая гиперболу вокруг каждой из осей, получают два гиперболоида вращения –

Однополостной гиперболоид вращения обладает замечательным свойством — через каждую точку этого

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением:Двуполостной

Свойства однополостного гиперболоида использовал русский инженер В.Г. Шухов при строительстве радиостанции

Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на

Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться

Похожие презентации

Определение гиперболы
Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух

Обозначения:
Асимптоты гиперболы (красные кривые) , показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C.

Вывод канонического уравнения:
Введем обозначения: F1 и F2 – фокусы, разность расстояний |F2М–F1М|=2а, илиF2М–F1М=±2а.
F1F2=2с (фокусное расстояние), причем

Изображение гиперболы Киперта на координатной плоскости
Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта

Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха.
Гипербола

Гипербола в жизни
Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением:
Двуполостной