Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (Лекция 2)

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (Лекция 2)

Содержание

2. План лекции: Понятие неопределенного интеграла.Свойства неопределенного интеграла Понятие определенного интеграла.Свойства определенного интеграла Таблица интегралов от некоторых
3. Понятие неопределенного интеграла Функция F(x), называется первообразной для функции f(x), если ее производная F'(x) равна данной
4. Свойства неопределенного интеграла дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d∫F(x)dx = F(x)dx; неопределенный интеграл от дифференциала
5. Таблица интегралов основных функций
6. Методы интегрирования Интегрирование по формулам. Этот метод основан на использовании таблицы интегралов основных функций и свойствах
7. Понятие определенного интеграла
8. Понятие определенного интеграла Выражение называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ab]. Если неопределенный интеграл представляет
9. Свойства определенного интеграла при смене пределов интегрирования меняется знак у определенного интеграла если пределы интегрирования равны
10. Формула Ньютона -Лейбница Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти его первообразную (неопределенный интеграл) и подставить пределы
11. Дифференциальные уравнения Уравнение, содержащее независимую переменную х, функцию f(x) и ее производные от первого до n-го
12. Алгоритм решения дифференциальных уравнений представить производную в дифференциальной форме, т.е. ; разделить переменные, т.е. все, что
13. Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения уравнение вида y'= f(x).
14. уравнение вида y'= f(у).
15. уравнение с разделяющимися переменными вида f1(x)Ψ1(y)dx+f2(x)Ψ2(y)dy=0
16. Общее и частное решение дифференциального уравнения Константа может быть выбрана в любом виде (произвольно) для удобства
17. Заключение Нами рассмотрены: понятия неопределенного и определенного интегралов, а также показаны на примерах способы их решения;
18. Тест-контроль Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него: функции аргумента высшей производной низшей производной
19. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Обязательная: Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед.вузов.- М.: ГЭОТАР-Медиа,
21. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции:
Понятие неопределенного интеграла.Свойства неопределенного интеграла
Понятие определенного интеграла.Свойства определенного интеграла
Таблица интегралов

от некоторых функций. Способы вычисления интегралов
Типы дифференциальных уравнений и способы их решения

Слайд 3

Понятие неопределенного интеграла
Функция F(x), называется первообразной для функции f(x), если ее

производная F'(x) равна данной функции, F'(x) = f(x), а dF(x)=f(x)dx.
Совокупность всех первообразных F(x)+C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом (обозначается ∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, С- постоянная).

Слайд 4

Свойства неопределенного интеграла
дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d∫F(x)dx = F(x)dx;
неопределенный

интеграл от дифференциала функции равен этой функции: ∫F(x)dx= F(x) + C;
постоянный множитель выносится за знак интеграла: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx;
интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов этих функций: ∫(f1(x) ± f2(x) ± f3(x))dx= ∫(f1(x)dx± ∫f2(x)dx ± ∫f3(x))dx.

Слайд 5

Таблица интегралов основных функций

Слайд 6

Методы интегрирования
Интегрирование по формулам. Этот метод основан на использовании таблицы интегралов

основных функций и свойствах неопределенного интеграла
Интегрирование методом замены переменной (или метод подстановки). Этот способ применяется для упрощения подынтегрального выражения и сведения интеграла к табличному. Вводится новая переменная z=f(x), находится ее дифференциал dz=z'dx , выражается , и все подынтегральное
выражение записывается в новых переменных z.

Слайд 7

Понятие определенного интеграла

Слайд 8

Понятие определенного интеграла
Выражение называют определенным
интегралом функции f(x) на отрезке

[ab].
Если неопределенный интеграл представляет собой совокупность функций, отстоящих друг от друга на величину С, то определенный интеграл – это всегда число, значение которого определяется видом подынтегральной функции и значениями верхнего (b) и нижнего (а) пределов интегрирования.

Слайд 9

Свойства определенного интеграла
при смене пределов интегрирования меняется знак у определенного интеграла

если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл равен нулю
если точка с принадлежит отрезку [ab], то выполняется равенство

Слайд 10

Формула Ньютона -Лейбница
Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти его первообразную (неопределенный

интеграл) и подставить пределы интегрирования

Слайд 11

Дифференциальные уравнения
Уравнение, содержащее независимую переменную х, функцию f(x) и ее производные

от первого до n-го порядка, называется дифференциальным. F(x,f(x),f'(x),f''(x),…,f(n)(x),С)=0.
Порядок дифференциального уравнения определяется порядком наивысшей производной.
Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), которая при подстановке обращает это уравнение в тождество.

Слайд 12

Алгоритм решения дифференциальных уравнений
представить производную в дифференциальной форме, т.е. ;
разделить переменные,

т.е. все, что относится к одной переменной (х) собрать в одной части равенства, а все, что относится к другой переменной (у) – в другой части равенства;
проинтегрировать обе части равенства и записать решение в виде y=f(x);
выполнить проверку.

Слайд 13

Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения
уравнение вида y'=

f(x).

Слайд 14

уравнение вида y'= f(у).

Слайд 15

уравнение с разделяющимися переменными вида
f1(x)Ψ1(y)dx+f2(x)Ψ2(y)dy=0

Слайд 16

Общее и частное решение дифференциального уравнения
Константа может быть выбрана в любом

виде (произвольно) для удобства решения. И тогда получают общее решение дифференциального уравнения.
Если же заданы начальные условия, то константа вычисляется и имеет вполне определенное значение. Тогда можно говорить о частном решении дифференциального уравнения.

Слайд 17

Заключение
Нами рассмотрены:
понятия неопределенного и определенного интегралов, а также показаны на

примерах способы их решения;
виды дифференциальных уравнений, алгоритмы их решения.

Слайд 18

Тест-контроль
Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него:
функции
аргумента
высшей производной
низшей производной

Слайд 19

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Обязательная:
Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для

мед.вузов.- М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007.-
Дополнительная:
Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др.- М.: ИНФРА-М, 2010.-
Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. -Красноярск: Печатные технологии, 2004
Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др.- Красноярск: тип.КрасГМУ, 2009.-
Электронные ресурсы:
ЭБС КрасГМУ
Ресурсы интернет

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (Лекция 2)

Содержание

Понятие неопределенного интегралаФункция F(x), называется первообразной для функции f(x), если ее

Свойства неопределенного интеграладифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d∫F(x)dx = F(x)dx;неопределенный

Таблица интегралов основных функций

Методы интегрированияИнтегрирование по формулам. Этот метод основан на использовании таблицы интегралов

Понятие определенного интеграла

Понятие определенного интегралаВыражение называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке

Свойства определенного интегралапри смене пределов интегрирования меняется знак у определенного интеграла

Формула Ньютона -ЛейбницаЧтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти его первообразную (неопределенный

Дифференциальные уравненияУравнение, содержащее независимую переменную х, функцию f(x) и ее производные

Алгоритм решения дифференциальных уравненийпредставить производную в дифференциальной форме, т.е. ;разделить переменные,

Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения уравнение вида y'=