Касательная к графику функции

в этой точке с точностью до первого порядка (рис.).
Другое определение: это предельное положение секущей при Δx→0.
Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо). 
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b.  Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
  k = tg α

(то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).

числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).

нахождения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Вычислить f(xо).
2. Вычислить  производные f ′(x) и f ′(xо).
3. Внести найденные числа xо,  f(xо),  f ′(xо) в уравнение касательной и решить его.