Ключевые задачи по теории вероятностей

систематического перебора вариантов;
сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуации с использованием аппарата вероятности и статистики.

№ 9 – базовое задание. Максимальный балл за выполнение задания - 1.

к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения

Классическое определение вероятности

Напомним формулу для вычисления классической вероятности случайного события

на окончание учебного года. Из них 14 по сказкам А.С. Пушкина и 26 по сказкам Г.Х.Андерсена . Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Насте достанется книжка-раскраска по сказкам А.С. Пушкина.
Решение: m= 14; n= 14 +26=40
Р= 14/40= 0,35
Ответ: 0, 35.

из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос.
Решение: Здесь n=60. Иван не выучил 3, значит, выучил все остальные, т.е. m= 60-3=57.
Р=57/60=0,95.

Классическое определение вероятности

Ответ: 0,95.

из России, 7 из США, остальные- из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая пятой, окажется из Китая.
Решение: В условии задачи есть «волшебное» слово «жребий», значит мы забываем о порядке выступления.
Т.о., m= 20-8-7=5 (из Китая); n=20.
Р= 5/20 = 0,25.
Ответ: 0, 25.

первые 3 дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между 4-м и 5-м днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора Иванова окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Занесём данные в таблицу.
Получили, что m=12; n=75.
Р=12/75= 0,16.
Ответ: 0,16.

«Порядок определяется жеребьёвкой»

на которую также есть в прототипах. В чём же отличие? Вероятность- это прогнозируемая величина, а частота- констатация факта.
Пример: Вероятность того, что новый планшет в течение года поступит в гарантийный ремонт , равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных планшетов в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение: Найдём частоту события: 51/1000=0,051. А вероятность равна 0,045 (по условию).Значит в этом городе событие «гарантийный ремонт» происходит чаще, чем предполагалось. Найдём разницу
∆= 0,051- 0,045= 0,006.
При этом, надо учесть, что нам НЕ важен знак разности, а лишь её абсолютное значение.
Ответ: 0,006.

количество всевозможных исходов: n = 2k.

Пример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Решение: Варианты выпадения монеты:
 ОО;   ОР;   РР;   РО.  Т.о., n=4.  
Благоприятные исходы: ОР  и РО. Т.е., m= 2.  
Р=2/4 = 1/2 = 0,5. Ответ: 0,5.

из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"?

Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи»)

Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка.
; т.е., n=8; m=1.
Р=1/8= 0,125.
Ответ: 0,125

n = 23

количество всевозможных исходов: n = 6k.

Пример: Даша дважды бросает игральный кубик. Найдите вероятность того, что сумме у нее выпало 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,14.

Решение: В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:
2 и 6
6 и 2
3 и 5
5 и 3
4 и 4
m= 5 (5 подходящих
комбинаций)
n =36
Р= 5/36 = 0,13(8)

n-го события находятся по формуле: Р= Р1*Р2*…*Рn

Пример: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся.
Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,02.

Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
1 выстрел: 0,8
2 выстрел: 0,8
3 выстрел: 0,8
4 выстрел: 0,2
5 выстрел: 0,2
По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем:
Р= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

3 различных фирм. Причём продукция 1-ой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных 2-х- поровну. Выяснилось, что 2% ручек 2-ой фирмы- бракованные. Процент брака в 1-ой и 3-ей фирме соответственно 1% и 3%. Сотрудник А взял ручку из новой поставки. Найдите вероятность того, что она будет исправна.
Решение: Продукция 2и 3 фирм составляет (100%-40%):2=30% от поставок.

Р(брака)= 0,4· 0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019.
Р(исправных ручек) = 1- 0,019 = 0,981.
Ответ: 0,981.

чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение: Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю.
Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,97 = P(A) + 0,89.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
Ответ: 0,08.

по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.
m=10-1=9; n= 26-1=25 («минус» Руслан Орлов)
Р= 9/25= 0,36.
Ответ: 0,36.