Конформные отображения

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Конформные отображения

Содержание

2. Определение обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z0 => б.м.
3. Основное определение. Непрерывное взаимно однозначное области g⊂ Z ↔ D ⊂ W, при котором в ∀z∈g
4. Теорема 20.1 Если f(z)∈C∞(g), однозначная и однолистная, и f ’(z)≠0, ∀z∈g, то Доказательство. Данное отображение f(z)
5. Теорема 20.2(обратная) Если , то f(z)∈C∞(g), однолистна, и f ’(z)≠0, ∀z∈g. Доказательство. , то f(z)- непрерывна,
6. Постоянство растяжений => Сохранение углов => ■ Замечание. Свойство f ’(z)≠0, ∀z∈g является следствием однолистности.
7. Теорема 20.3. Необходимым и достаточным условием конформного отображения является f(z)∈C∞(g), однозначна и однолистна в g. Доказательство.
8. Основные принципы конформных отображений. Принцип соответствия границ. Если f(z)∈C ∞( g ), g-односвязна и f(ξ): ∂g⬄Γ=∂D
9. Доказательство. Докажем, что f(z) однолистна в g, т.е. а) ∀w1∈D ∃! z1∈g : w1=f(z1); б) ∀w2∉D
10. Подсчитаем число нулей этих функций по принципу аргумента:
11. ■ Замечание. Если f(z)∈C∞(g\z0), z0- полюс первого порядка и f(ξ): ∂g↔Γ с изменением направления обхода, то
12. Обратная теорема. Если f(z): (D-ограничена), то f(z)∈C (∂ g ) и осуществляет непрерывное и взаимно-однозначное соответствие
13. Теорема Римана Основной закон конформных отображений g⊂ Z ; D ⊂ W Теорема Римана. Если g-
14. Теорема 20.4. Если g- односвязная g⊂ Z , ∂ g состоит более чем из одной так
15. Замечания 1) Пусть g⊂ Z ; D ⊂ W ∈ т. Римана Тогда ∃ξ=f(z): , f(z0)=
17. 2) Односвязность существенна! 3) Условия т. Римана можно заменить установлением соответствия 3-х точек ∂g трем точкам
18. п.4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.
19. 1) Степенная w=f(z)=zn : область однолистности 0
20. f(z)=z2
23. 2) w=f(z)=1/z : область однолистности- вся комплексная плоскость.
25. 3) w=f(z)=ez : область однолистности -π
27. Дробно-линейная функция (ДЛФ) 3 параметра, α≠β. , f '(z)≠0 для ∀z
28. 1) Геометрический смысл. повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия
29. 2) Заданием соответствия z1↔w1, z2↔w2, z3↔w3, ДЛФ определена однозначно, т.е. коэффициенты λ, α, β однозначно выражаются
30. Доказательство
32. Свойства дробно-линейной функции. 1) Круговое: A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/ζ=1/(ξ+iη)= =ξ/(ξ2+η2)-iη/(ξ2+η2)=> x=ξ/(ξ2+η2), y= -η/(ξ2+η2) => A+Bξ-Cη+D(ξ2+η2)=0.
33. Задав zi↔wi, i=1,2,3 Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=> c сохранением направления обхода однозначно
34. Пример. z=1↔w= 0; z= i ↔w= 1; z= -1 ↔ w = ∞ ; w=λ(z-1)/(z+1); 1=λ(i-1)/(i+1)=>
35. Сохранение сопряженности точек. Сопряженные=> Сопряженные
36. Пример.
38. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение
обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в

точке z0

=> б.м. Ο → б.м. Ο; б.м. Δ → б.м. Δ .

Слайд 3

Основное определение.
Непрерывное взаимно однозначное области g⊂ Z ↔ D ⊂

W, при котором в ∀z∈g выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D.

Слайд 4

Теорема 20.1 Если f(z)∈C∞(g), однозначная и однолистная, и f ’(z)≠0,
∀z∈g,

то

Доказательство. Данное отображение f(z) обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений
(см. выше). ■

Слайд 5

Теорема 20.2(обратная) Если
, то f(z)∈C∞(g), однолистна, и f ’(z)≠0, ∀z∈g.
Доказательство.

, то f(z)- непрерывна, однозначна и однолистна.

Слайд 6

Постоянство растяжений =>
Сохранение углов =>
■
Замечание. Свойство f ’(z)≠0, ∀z∈g является следствием

однолистности.

Слайд 7

Теорема 20.3. Необходимым и достаточным условием конформного отображения является f(z)∈C∞(g), однозначна

и однолистна в g.

Доказательство. Необходимость доказана выше (Теорема 20.2).

Достаточность. См. "А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов Теория функций комплексной переменной." М.: Наука-Физматлит 1999, с.156.

Слайд 8

Основные принципы конформных отображений.
Принцип соответствия границ. Если f(z)∈C ∞( g

), g-односвязна и f(ξ):
∂g⬄Γ=∂D плоскости w с сохранением направления обхода, то

Слайд 9

Доказательство. Докажем, что f(z) однолистна в g, т.е.
а) ∀w1∈D ∃!

z1∈g : w1=f(z1);
б) ∀w2∉D не ∃ ни одной z2∈g: f(z2)=w2. Рассмотрим две произвольные точки w1∈D и w2∉D и построим в g вспомогательные функции
F1(z)=f(z)-w1, F2(z)=f(z)-w2 , z∈g.

Слайд 10

Подсчитаем число нулей этих функций по принципу аргумента:

Слайд 11

$■ Замечание. Если f(z)∈C∞(g\z0), z0- полюс первого порядка и f(ξ): ∂g↔Γ с изменением направления обхода, то$

■
Замечание. Если f(z)∈C∞(g\z0), z0- полюс первого порядка и f(ξ): ∂g↔Γ с

изменением направления обхода, то

Слайд 12

Обратная теорема. Если f(z):
(D-ограничена), то f(z)∈C (∂ g ) и

осуществляет непрерывное и взаимно-однозначное соответствие границ
∂g⬄ ∂D.

Слайд 13

Теорема Римана
Основной закон конформных отображений
g⊂ Z ; D ⊂

W

Теорема Римана. Если g- односвязная g⊂ Z , ∂ g состоит более чем из одной

точки, то

Слайд 14

Теорема 20.4. Если g- односвязная g⊂ Z , ∂ g состоит

более чем из одной

так что f(z0) = 0 и arg f '(z0)=α, z0∈g и α- заданные числа.

точки, то ∃! f(z)∈C∞(g):

Полное доказательство см. А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций".

Слайд 15

Замечания
1) Пусть g⊂ Z ; D ⊂ W ∈ т.

Римана

Тогда ∃ξ=f(z):

, f(z0)= ξ0

и ∃w=ϕ(ξ):

, ϕ(ξ0)= w0

=> ∃w=F(z)= ϕ(f(z)):

F(z0)=w0

Слайд 16

Слайд 17

2) Односвязность существенна!
3) Условия т. Римана можно заменить установлением соответствия 3-х

точек ∂g трем точкам ∂D.

Слайд 18

п.4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.

Слайд 19

1) Степенная w=f(z)=zn : область однолистности 0

Слайд 20

f(z)=z2

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

2) w=f(z)=1/z : область однолистности- вся комплексная плоскость.

Слайд 24

Слайд 25

3) w=f(z)=ez : область однолистности -π

Слайд 26

Слайд 27

Дробно-линейная функция (ДЛФ)
3 параметра, α≠β.
, f '(z)≠0 для ∀z

Слайд 28

1) Геометрический смысл.
повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия

Слайд 29

2) Заданием соответствия z1↔w1, z2↔w2, z3↔w3, ДЛФ определена однозначно, т.е. коэффициенты

λ, α, β однозначно выражаются через z1, w1, z2 , w2, z3 ,w3.

Слайд 30

Доказательство

Слайд 31

Слайд 32

Свойства дробно-линейной функции.
1) Круговое:
A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0;
z=x+iy=1/ζ=1/(ξ+iη)=
=ξ/(ξ2+η2)-iη/(ξ2+η2)=>
x=ξ/(ξ2+η2), y= -η/(ξ2+η2)
=> A+Bξ-Cη+D(ξ2+η2)=0.

Слайд 33

Задав zi↔wi, i=1,2,3
Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=>
c сохранением

направления обхода однозначно определим дробно-линейную функцию

Слайд 34

Пример.
z=1↔w= 0; z= i ↔w= 1; z= -1 ↔ w =

∞ ;

w=λ(z-1)/(z+1);

1=λ(i-1)/(i+1)=> λ=-i => w=i (1-z)/(1+z).

Слайд 35

Сохранение сопряженности точек.
Сопряженные=> Сопряженные

Слайд 36

Пример.