Кривые второго порядка

Определение

Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых являются уравнениями второй степени

Эллипс

Эллипсом называется линия, имеющая в некоторой системе координат уравнение

где x и

Преобразуем каноническое уравнение эллипса к одному из следующих видов:

2a – большая

Эллипс симметричен относительно осей координат

X

Y

O

- a

a

-b

b

Определение. Точки F1(- c; 0) и F2(c; 0), где называются фокусами

Сумма расстояний от фокусов до любой точки эллипса есть величина постоянная,

Определение. Отношение расстояния между фокусами к большой оси эллипса называется его

Пример. Покажите, что уравнение

является уравнением окружности, и найдите её радиус.

Решение.

Гипербола

Гиперболой называется линия, имеющая в некоторой системе координат уравнение

где x и

Преобразуем каноническое уравнение гиперболы к одному из следующих видов:

2a – действительная

Гипербола

X

Y

O

Определение. Точки F1(- c; 0) и F2(c; 0), где называются фокусами

Определение. Отношение расстояния между фокусами и действительной оси гиперболы называется его

Пример. Найти каноническое уравнение эллипса, фокусы которого совпадают с фокусами гиперболы

и

Парабола

Определение. Параболой называется линия, имеющая в некоторой системе координат уравнение

x и

Преобразуем уравнение y = ax2 + bx + c

Полярная система координат

О

Р

М

r

Зависимость между полярными и прямоугольными координатами точки

О

Р

М

Х

У

х

у

N

Пример. Найти декартовы координаты точки М, полярные координаты которой

Решение.

Р

О

М

Х

У

х

у

Пример. Найти полярные координаты точки М, декартовы координаты которой (5; -

Расстояние между точками

О

У

Х

М1

М2