Круги Эйлера в решении задач

1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

(1707 г.-1783 г.)

принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур.

– 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

множествами, для наглядного представления. 

пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. 

одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. 
Сколько шестиклассников
являются читателями обеих библиотек?

25+20 – х = 35
45 – х = 35
х = 45 – 35
х = 10 (человек ходят и в районную и в школьную библиотеки)

25 человек

20 человек

языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.

французский

немецкий

английский

вписываем число 3.

3

Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек.

немецкий

французский

английский

В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7.

7

Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек.

В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5.

5

владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.
Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.
Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.

В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2.

2

20

13

30

По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.

Ответ: 20 человек.

6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

Задача №3:

Решение:

капуста

морковь

горох

7

6

5

4

3

2

1

3

2

1

1

1

1

Ответ: 10 человек.

то: 4 - 1 = 3 ребенка любят капусту и морковь 3 - 1 = 2 детей любят капусту и горох, 2 - 1 = 1 ребенок любит морковь и горох 7 - (1 + 2 + 3) = 1 ребенок любит только капусту 6 - (1 + 3 + 1) = 1 ребенок любит только морковь 5 - (1 + 2 + 1) = 1 ребенок любит только горох Т. к. мы узнали предпочтения всех детей то сложив количество этих детей получим сколько человек в семье: 1 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 детей.

занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:
Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

+ 3 + 3) = 10 (ребят) - не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке. Ответ: 10 человек и 11 человек.
10 - 3 = 7 (ребят) - посещают драмкружок и
хор,
2) 6 - 3 = 3 (ребят) - поют в хоре и
занимаются спортом, 3) 8 - 3 = 5 (ребят) - занимаются спортом и
посещают драмкружок

4) 27 - 7 - 3 - 5 = 12 (ребят) - посещают
драмкружок,
5) 32 - 7 3 - 3 = 19 (ребят) - поют в хоре,
6) 22 - 5 - 3 - 3 = 11 (ребят) - увлекаются
спортом,

путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.