Машинная арифметика в рациональных чисел. Лекция №4. Часть 1

Август 23, 2022

Главная
Математика
Машинная арифметика в рациональных чисел. Лекция №4. Часть 1

Содержание

2. 8080, 8 разр, 2 МГц 8086, 16 разр, 4-10 МГц Pentium, 32 разр, 60-233 МГц Рост
3. Вычитание близких друг другу по величине чисел
4. Аппроксимация производной
5. Вычитание близких друг другу по величине чисел int n = 1; double x = 1.0, h
6. Вычитание близких друг другу по величине чисел x = 1.0, h = 1.0 Использование слишком большого
7. Вычитание близких друг другу по величине чисел
8. Аппроксимация производной Для больших значений h ошибка уменьшается примерно в 10 раз каждый раз, когда h
9. Аппроксимация производной
10. Обусловленность вычислительных задач
11. Обусловленность вычислительных задач
12. Обусловленность вычислительных задач Величина kf (x) называется числом обусловленности f в точке x. Она измеряет приблизительно
13. Обусловленность вычислительных задач Полезное эмпирическое правило. Чтобы оценить количество цифр, с которым согласуется y^ = f
14. Пример обусловленности Упражнение Определить число обусловленности функции g(x) = x/10, h(x) = x - 10 и
15. Плохо обусловленная система x = 331.7; y = 5.000 x = 298.6; y = 4.5
16. Плохо обусловленная система x y 0
17. Обусловленность
18. Упражнения Упражнение 1 Упражнение 2
19. Обусловленность Задача считается хорошо обусловленной, если небольшие погрешности операндов приводят к небольшим изменением результатов и наоборот
20. Полусумматор
21. Сумматор со сквозным переносом S = A+B+p p S +11111 11111 _______
23. Скачать презентацию

Слайд 2

8080, 8 разр, 2 МГц
8086, 16 разр, 4-10 МГц
Pentium, 32 разр,

60-233 МГц

Рост разрядности и тактовой частоты процессоров по годам

Гипотеза: Технологические трудности создания процессоров высокой разрядности

Слайд 3

Вычитание близких друг другу по величине чисел

Слайд 4

Аппроксимация производной

Слайд 5

Вычитание близких друг другу по величине чисел
int n = 1;

double x = 1.0, h = 1.0;
double deriv = Math.Cos(x), diffquo, error;
Console.WriteLine(deriv);
while(n <= 20) {
h = h / 10;
diffquo = (Math.Sin(x + h) - Math.Sin(x)) / h; /* производная */
error = Math.Abs(deriv - diffquo);
//Console.WriteLine("h={0},diff={1}, error={2}",h, diffquo, error);
Console.WriteLine(error);
n++;
}

Слайд 6

Вычитание близких друг другу по величине чисел
x = 1.0, h =

1.0

Использование слишком большого h дает большую ошибку дискретизации, для малых h потерю точности. Для функции f (x) = sin (х) при x = 1,
лучший выбор h составляет примерно 10 ~ 8, приблизительно квадратный корень машинного эпсилона.

Слайд 7

Вычитание близких друг другу по величине чисел

Слайд 8

Аппроксимация производной
Для больших значений h ошибка уменьшается примерно в 10 раз

каждый раз, когда h уменьшается в 10 раз до потери точности из-за ошибок округления

Ошибка дискретизации O (h)

Слайд 9

Аппроксимация производной

Слайд 10

Обусловленность вычислительных задач

Слайд 11

Обусловленность вычислительных задач

Слайд 12

Обусловленность вычислительных задач
Величина kf (x) называется числом обусловленности f в точке

x. Она измеряет приблизительно насколько увеличивается относительная ошибка округления в x при вычислении f(x).

Слайд 13

Обусловленность вычислительных задач
Полезное эмпирическое правило.
Чтобы оценить количество цифр, с которым согласуется

y^ = f (x^) с y = f (x)
требуется вычесть: log10(kf(x))
от приблизительного количества цифр, с которым x = round (x) совпадает с x, т. е.7 при использовании одинарной точности IEEE или 16 при использовании двойной точности IEEE. Предполагается, что f дважды непрерывно дифференцируема и что x и f (x) находятся в нормализованном диапазоне системы с плавающей точкой.

Поскольку оценка числа обусловленности f в x требует сначала оценки производная f '(x), число обусловленности не помогает нам решить нашу исходную проблема вычисления f(x). Оценка числа условия
сложнее, чем оценка функции, однако дает нам
понимание трудностей, которые могут возникнуть, когда мы оцениваем f при определенных значениях x.

Слайд 14

Пример обусловленности
Упражнение
Определить число обусловленности функции
g(x) = x/10, h(x) = x

- 10
и обсудить для каких x, если таковые имеются, kg (x) или kh (x) велики.

Слайд 15

Плохо обусловленная система
x = 331.7; y = 5.000
x = 298.6; y

= 4.5

Слайд 16

Плохо обусловленная система
x
y
0

Слайд 17

Обусловленность

Слайд 18

Упражнения
Упражнение 1
Упражнение 2

Слайд 19

Обусловленность
Задача считается хорошо обусловленной, если небольшие погрешности операндов приводят к небольшим

изменением результатов и наоборот плохо обусловленной, если малые изменения исходных данных вызывает резкие изменения результатов. Оценка обусловленности задачи иногда в литературе называют анализом чувствительности.
Обратный анализ ошибок округления имеет отношение и применяется к алгоритму решения задачи, а анализ чувствительности к самой задаче.
Алгоритм решения вычислительной задачи обратно устойчив, если результат является точным решением слабо возмущенной задачи, т.е. обратно устойчивый алгоритм способен достаточно точно решать хорошо обусловленные задачи.

Слайд 20