Математическая статистика

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Математическая статистика

Содержание

2. Случайные события Событие называется детерминированным, если в результате опыта оно происходит или не происходит наверняка. В
3. События A и B называются несовместными, если появление одного исключает появление другого. Событие B следует из
4. Пусть случайный эксперимент проводится раз n, и событие A произошло m раз. Тогда говорят, что относительная
5. 1. Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей: P(A+B) = P(A) + P(B)
6. Классическое определение Свойства вероятности. I. Для любого случайного события А 0≤P(A) ≤1 2. Пусть события A
7. Дискретная случайная величина Будем предполагать, что все числа xk различны. Случайная величина принимает значение xk ,
8. Дисперсия Дисперсией конечной случайной величины ξ называется число по определению математического ожидания, дисперсия вычисляется по следующей
9. Функция распределения Функция действительной переменной называется функцией распределения случайной величины ξ . Свойства функции распределения 1.
10. 6. Функция распределения непрерывна слева, то есть
11. Говорят, что случайная величина ξ , распределена по нормальному закону (имеет нормальное распределение) с параметрами m
12. Статистика Генеральной совокупностью называется вся совокупность исследуемых объектов Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно
13. Выборка и ее обработка Совокупность пар (zi, ni ) называют статистическим рядом выборки. Часто его представляют
14. Эмпирическая функция распределения Это распределение называется выборочным, или эмпирическим, распределением. Как и для любой конечной случайной
16. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
17. Поскольку каждое значение из выборки есть случайная величина с функцией распределения, то вероятность успеха равна p=F(x)
18. Выборочные квантили Выборочный квантиль определяются по выборке. Квантиль – левее должно располагаться кол-во значений, соответствующее индексу
19. Распределение Стьюдента На рисунке красным выделено нормальное распределение, черным – распределение Стьюдента.
20. Свойства распределения Стьюдента Распределение Стьюдента симметрично, причем Mt(k) = 0. При больших k распределение Стьюдента близко
21. Доверительный интервал математического ожидания. Случайная величина U распределена по нормальному закону Случайная величина
22. Пример m=0.51735, σ=0,288955, n=49. После вычислений получим 0,0809074. Интервал будет 0.51735- 0,0809074 0,4364426
23. Пример. Интервал для дисперсии Находим интервал 0,056131 После вычислений получим 0.51735- 0,082992 0,434358
24. Статистическая гипотеза Любое утверждение о виде или свойствах закона распределения наблюдаемых случайных величин Всякий раз предполагаем,
25. Нулевой (основной) гипотезой - H0 называют какое-либо конкретное предположение о теоретической функции распределения или предположение, влекущее
26. Задача проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы, используя статистические данные (выборку) X1, X2, …, Xn,
27. Нулевые и альтернативные гипотезы формулируются как утверждение о принадлежности функций распределения некоторой случайной величины определенному классу
28. Гипотеза называется простой, если соответствующий класс распределений содержит лишь одно распределение, в противном случае гипотеза будет
29. значение которой для заданной выборки служит основанием принятия или отклонения основной гипотезы Статистикой критерия называется функция
30. Статистический критерий - правило, позволяющее только по результатам наблюдений X1, X2, …, Xn принять или отклонить
31. Каждому критерию отвечает разбиение области значений статистики критерия на две непересекающихся части: критическую область τ1 область
32. Критические области Двусторонняя Неправдоподобно маленькие значения Неправдоподобно большие значения Приемлемые значения
33. Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы τ0 , то принимается нулевая гипотеза, в
34. Задать статистический критерий значит: задать статистику критерия задать критическую область
35. В ходе проверки гипотезы H0 можно прийти к правильному выводу, либо совершить два рода ошибок: ошибку
36. Так как статистика критерия есть случайная величина со своим законом распределения, то попадание её в ту
37. Ошибку первого рода α ещё называют уровнем значимости критерия. Часто пользуются понятием мощности критерия W --
38. Распределение статистики критерия для нулевой и альтернативной гипотез (односторонний критерий)
39. 1 шаг – выдвигается основная гипотеза H0 2 шаг – задается уровень значимости α 3 шаг
40. 4 шаг – из таблиц распределения статистики критерия находятся квантили, соответствующие границам критической области 5 шаг
41. Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается на уровне значимости
43. Скачать презентацию

Слайд 2

Случайные события
Событие называется детерминированным, если в результате опыта оно происходит или

не происходит наверняка. В детерминированном случае мы точно знаем, что данная причина приведет к единственному, вполне определенному следствию.
Событие называется случайным, если в результате опыта мы не можем заранее предсказать - произойдет событие или нет. При этом предполагается, что опыт можно повторять неограниченное число раз при неизменных условиях.

Слайд 3

События A и B называются несовместными, если появление одного исключает появление

другого.
Событие B следует из события A, если событие B происходит всегда, когда произошло событие A .
Это обозначается тем же символом, что и подмножество: Α⊂Β .
Будем говорить о равенстве двух событий A и B, если из A следует B и из B следует A.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти никогда при данных условиях.
Событие называется достоверным, если оно происходит всегда при данных условиях.

Слайд 4

Пусть случайный эксперимент проводится раз n, и событие A произошло m

раз. Тогда говорят, что относительная частота события A есть ν(Α)=m/n .
Частота события связана с его вероятностью. Относительную частоту называют еще эмпирической вероятностью потому, что по частоте события мы оцениваем возможность его появления в будущем.
Для любого случайного события A 0≤Pn(A) ≤1 n - количество случайных экспериментов.

Слайд 5

1. Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей:

P(A+B) = P(A) + P(B)
2. Если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей:
P(A B) = P(A) P(B)

Две теоремы о вероятности суммы событий и произведении

Слайд 6

Классическое определение
Свойства вероятности.
I. Для любого случайного события А 0≤P(A) ≤1
2. Пусть

события A и B несовместны. Тогда P(A+B)=P(A)+P(B)
Например: бросание кубика. Всего исходов 6, число исходов, благоприятных выпадению четного числа – 3. P(A)=1/2

Слайд 7

Дискретная случайная величина
Будем предполагать, что все числа xk различны. Случайная величина

принимает значение xk , если произошел исход ωk, вероятность которого равна pk Точнее: вероятность события •ξ(ωκ)=xk} равна pk Дискретная случайная величина полностью определяется своими значениями и их вероятностями.

Слайд 8

Дисперсия
Дисперсией конечной случайной величины ξ называется число
по определению математического ожидания,

дисперсия вычисляется по следующей формуле

называется среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины

Слайд 9

Функция распределения
Функция действительной переменной
называется функцией распределения случайной величины ξ .
Свойства функции

распределения

3. При любом х выполняется неравенство.

Это справедливо, поскольку функция распределения есть вероятность
4. Функция распределения есть неубывающая функция.

Слайд 10

6. Функция распределения непрерывна слева, то есть

Слайд 11

Говорят, что случайная величина ξ , распределена по нормальному закону (имеет

нормальное распределение) с параметрами m и σ, (σ>0) если она имеет плотность распределения

Распределение Гаусса

На рисунке представлены графики стандартного (при m=0 и s=1) нормального распределения Гаусса (черный) и его плотности (красный)

Слайд 12

Статистика
Генеральной совокупностью называется вся совокупность исследуемых объектов
Выборочной совокупностью или просто выборкой

называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов
Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности
Способы формирования выборочной совокупности
Повторный – после измерений объект возвращают в генеральную совокупность
Бесповторный – после измерений объект в генеральную совокупность не возвращается
Выборка должна быть репрезентативной - представительной. Для этого объекты из генеральной совокупности должны отбираться случайно.

Слайд 13

Выборка и ее обработка
Совокупность пар (zi, ni ) называют статистическим рядом

выборки. Часто его представляют в виде таблицы – в первой строке zi, во второй ni.
Величина νi = ni /n называется относительной частотой
Накопленная частота значения zi равна n1+n2+…+ni.
Относительная накопленная частота ν1+ν2+…+νi

Слайд 14

Эмпирическая функция распределения
Это распределение называется выборочным, или эмпирическим, распределением. Как и

для любой конечной случайной величины, для эмпирической случайной величины можно построить ступенчатую функцию распределения; она называется выборочной функцией распределения. Кроме того, можно вычислить числовые характеристики выборочной случайной величины ξn- математическое ожидание, дисперсию.

Слайд 15

Слайд 16

ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Слайд 17

Поскольку каждое значение из выборки есть случайная величина с функцией

распределения, то вероятность успеха равна p=F(x) . Число успехов равно μn(x) , а относительная частота успеха равна μn(x)/n и совпадает с выборочной функцией распределения.

Слайд 18

Выборочные квантили
Выборочный квантиль определяются по выборке.
Квантиль – левее должно располагаться

кол-во значений, соответствующее индексу квантили. Например, для квантили x0.8
Левее должно располагаться 80% значений выборки.

Слайд 19

Распределение Стьюдента
На рисунке красным выделено нормальное распределение, черным – распределение Стьюдента.

Слайд 20

Свойства распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента симметрично, причем Mt(k) = 0.
При больших k

распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению N(0,1).

Слайд 21

Доверительный интервал математического ожидания.
Случайная величина U распределена по нормальному закону
Случайная

величина

Слайд 22

Пример
m=0.51735, σ=0,288955, n=49. После вычислений получим 0,0809074.
Интервал будет 0.51735- 0,0809074

0,0809074
0,4364426

Слайд 23

Пример. Интервал для дисперсии
Находим интервал 0,056131<σ2<0,09353
После вычислений получим
0.51735- 0,082992

0.51735+ 0,082992
0,434358

Слайд 24

Статистическая гипотеза
Любое утверждение о виде или свойствах закона распределения наблюдаемых случайных

величин
Всякий раз предполагаем, что у нас имеются две взаимоисключающие гипотезы:
основная и альтернативная

Слайд 25

Нулевой (основной) гипотезой - H0 называют какое-либо конкретное предположение о теоретической

функции распределения или предположение, влекущее за собой важные практические последствия
Альтернативная гипотеза H1 - любая гипотеза, исключающая нулевую

Слайд 26

Задача проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы, используя статистические данные

(выборку)
X1, X2, …, Xn,
принять или отклонить нулевую гипотезу

Слайд 27

Нулевые и альтернативные гипотезы формулируются как утверждение о принадлежности функций распределения

некоторой случайной величины определенному классу распределений

Слайд 28

Гипотеза называется простой, если соответствующий класс распределений содержит лишь одно распределение,

в противном случае гипотеза будет сложной.
Гипотезы о параметрах распределений называются
параметрическими

Слайд 29

значение которой для заданной
выборки служит основанием принятия или отклонения основной

гипотезы

Статистикой критерия
называется функция от выборки

Слайд 30

Статистический критерий - правило, позволяющее только по результатам наблюдений
X1, X2,

…, Xn
принять или отклонить нулевую гипотезу H0

Слайд 31

Каждому критерию отвечает разбиение области значений статистики критерия на две непересекающихся

части:
критическую область τ1
область принятия гипотезы τ0

Слайд 32

Критические области
Двусторонняя
Неправдоподобно маленькие значения
Неправдоподобно большие значения
Приемлемые значения

Слайд 33

Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы τ0 ,

то принимается нулевая гипотеза, в противном случае она отвергается (принимается альтернативная гипотеза)

Слайд 34

Задать статистический критерий значит:
задать статистику критерия
задать критическую область

Слайд 35

В ходе проверки гипотезы H0 можно прийти к правильному выводу, либо

совершить два рода ошибок:
ошибку первого рода -- отклонить H0, когда она верна
ошибку второго рода -- принять H0, когда она не верна.

Слайд 36

Так как статистика критерия
есть случайная величина со своим законом распределения, то

попадание её в ту или иную область характеризуется соответствующими вероятностями:
вероятностью ошибки первого рода α
вероятностью ошибки второго рода β

Слайд 37

Ошибку первого рода α ещё называют уровнем значимости критерия.
Часто пользуются понятием

мощности критерия W -- вероятности попадания в критическую область при условии справедливости альтернативной гипотезы

Слайд 38

Распределение статистики критерия для нулевой и альтернативной гипотез (односторонний критерий)

Слайд 39

1 шаг – выдвигается основная гипотеза H0
2 шаг – задается уровень

значимости α
3 шаг – задается статистика критерия T(X) с известным законом распределения

Пять шагов проверки гипотезы

Слайд 40

4 шаг – из таблиц распределения статистики критерия находятся квантили, соответствующие

границам критической области
5 шаг – для данной выборки рассчитывается значение статистики критерия

Слайд 41

Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы, то нулевая

гипотеза принимается на уровне значимости α.
В противном случае принимается альтернативная гипотеза (отвергается нулевая гипотеза)

Математическая статистика

Содержание

Случайные событияСобытие называется детерминированным, если в результате опыта оно происходит или

События A и B называются несовместными, если появление одного исключает появление

Пусть случайный эксперимент проводится раз n, и событие A произошло m

1. Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей:

Классическое определениеСвойства вероятности.I. Для любого случайного события А 0≤P(A) ≤12. Пусть

Дискретная случайная величинаБудем предполагать, что все числа xk различны. Случайная величина

ДисперсияДисперсией конечной случайной величины ξ называется число по определению математического ожидания,

Функция распределенияФункция действительной переменнойназывается функцией распределения случайной величины ξ .Свойства функции

6. Функция распределения непрерывна слева, то есть

Говорят, что случайная величина ξ , распределена по нормальному закону (имеет

СтатистикаГенеральной совокупностью называется вся совокупность исследуемых объектовВыборочной совокупностью или просто выборкой

Выборка и ее обработкаСовокупность пар (zi, ni ) называют статистическим рядом

Эмпирическая функция распределенияЭто распределение называется выборочным, или эмпирическим, распределением. Как и

ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Поскольку каждое значение из выборки есть случайная величина с функцией

Выборочные квантилиВыборочный квантиль определяются по выборке. Квантиль – левее должно располагаться

Распределение СтьюдентаНа рисунке красным выделено нормальное распределение, черным – распределение Стьюдента.

Свойства распределения СтьюдентаРаспределение Стьюдента симметрично, причем Mt(k) = 0.При больших k

Доверительный интервал математического ожидания. Случайная величина U распределена по нормальному законуСлучайная

Примерm=0.51735, σ=0,288955, n=49. После вычислений получим 0,0809074.Интервал будет 0.51735- 0,0809074

Пример. Интервал для дисперсииНаходим интервал 0,056131<σ2<0,09353После вычислений получим 0.51735- 0,082992

Статистическая гипотезаЛюбое утверждение о виде или свойствах закона распределения наблюдаемых случайных