Содержание
- 2. Математика греч. mathēmatikē от màthēma – знание, наука наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного
- 3. Математика на педагогическом факультете Общие понятия Целые неотрицательные числа Расширение понятия числа Функции. Уравнения. Неравенства Элементы
- 4. Основная литература Стойлова, Л. П. Математика : учебное пособие для студентов сред. пед. заведений / Л.
- 5. Множества и операции над ними Понятие множества и элемента множества Способы задания множеств Отношения между множествами
- 6. Понятие множества и элемента множества Часто приходится рассматривать различные группы объектов как единое целое: … птиц
- 7. Множество – основное неопределяемое понятие математики Его поясняют на примерах. Примерами множеств могут служить: множество государств
- 8. Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, … Для некоторых множеств вводят специальные обозначения,
- 9. Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают символом ∅ Пример: А - множество
- 10. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита:
- 11. Множества бывают конечными и бесконечными. Примеры: 1) множество дней недели - … , 2) множество точек
- 12. Способы задания множеств Существуют два способа задания множеств. 1) перечислением всех его элементов Примеры: 1) А
- 13. 2) указанием характеристического свойства элементов множества Характеристическое свойство – свойство, которым обладают все элементы этого множества,
- 14. Примеры: 1) А – множество положительных двузначных чисел. Характеристическое свойство – «быть положительным двузначным числом». 21
- 15. Бесконечное множество можно задать лишь указанием характеристического свойства его элементов. Конечное множество можно задать двумя указанными
- 16. Числовые множества {х| х∈ R, а интервал {х| х∈ R, а ≤ х ≤ b} [а;
- 17. {х| х∈ R, а полуинтервал {х| х∈ R, а ≤ х полуинтервал
- 18. {х| х∈ R, х ≥ а} [а; +∞) луч {х| х∈ R, х > а} (а;
- 19. {х| х∈ R, х ≤ а} (- ∞; а] луч {х| х∈ R, х луч
- 20. Отношения между множествами
- 21. Отношения между множествами можно наглядно представить с помощью диаграмм Эйлера-Венна (кругов Эйлера). Множество изображается кругом на
- 22. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то
- 23. Если множества не имеют общих элементов, то они не пересекаются Пишут: А ∩ В = ∅.
- 24. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А включено во
- 25. Для любого множества А справедливы утверждения: 1) ∅ ⊂ А 2) А ⊂ А
- 26. Множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов Примеры: 1) А =
- 27. Операции над множествами
- 28. Пересечение множеств Пересечением множеств А и В называется множество А ∩ В, состоящее из тех и
- 29. Примеры: 1) А = {а, b, с, d}, В = {b, d, е, f} А ∩
- 30. 4) А – множество квадратов, В – множество прямоугольников 3) А – множество четных натуральных чисел,
- 31. Для любого множества А справедливы следующие утверждения: 1) А ∩ ∅ = ∅ 2) А ∩
- 32. х ∈ А ∩ В ⇔ х ∈ А и х ∈ В х ∉ А
- 33. Объединение множеств Объединением множеств А и В называется множество А ∪ В, состоящее из тех и
- 34. Объединением множеств А и В называется множество А ∪ В, содержащие все элементы множества А, и
- 35. Примеры:1) А = {1, 2, 3}, В = {4, 5, 6} А ∪ В = {1,
- 36. 3) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 4, В ⊂
- 37. Для любых множеств А и В справедливы следующие утверждения: 1) А ∪ ∅ = А 2)
- 38. х ∉ А ∪ В ⇔ х ∉А и х ∉ В х ∈ А ∪
- 39. Законы пересечения и объединения множеств
- 40. Операции над числами обладают рядом свойств: Например: а + b = b + а (а ·
- 41. Законы пересечения множеств 1) Коммутативный закон пересечения множеств: А ∩ В = В ∩ А Лат.
- 42. (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) Графическое доказательство А ∩ (В
- 43. Законы объединения множеств 1) Коммутативный закон объединения множеств: А ∪ В = В ∪ А 2)
- 44. 3) Дистрибутивный закон пересечения относительно объединения: (А∪В)∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) 4) Дистрибутивный закон объединения относительно
- 45. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- 46. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству
- 47. Примеры: 1) А – множество четных чисел, В – множество двузначных чисел. А \ В –
- 48. Дополнением множества В до множества А называется разность множеств А и В: В′А = А \
- 49. Примеры: 1) А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 3, 5}. В′А =
- 50. Свойства вычитания множеств (А\В)\С = (А\С)\В (А∪В)\С = (А\С)∪(В\С) – дистрибутивность вычитания относительно объединения (А\В)∩С =
- 51. А\(В∪С) = (А\В)∩(А\С) А\(В∪С) (А\В)∩(А\С) Области, изображающие на рисунке множества А\(В∪С) и (А\В)∩(А\С) одинаковы. Следовательно, данные
- 52. Разбиение множества на классы
- 53. Элементы некоторого множества можно распределить по классам на основании сходств элементов внутри класса и их отличия
- 54. Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы Х1, Х2, …, Хn, если
- 55. Если не выполнено хотя бы одно их этих условий, классификацию считают неправильной. 2. Любые два таких
- 56. Примеры: Произошло ли разбиение множества Х на классы? или Верна ли классификация? 1. Х – множество
- 57. Разбиения множества Х на классы Х1, Х2, Х3 не получим. 2. Х – множество треугольников, Х1
- 58. Декартово умножение множеств
- 59. 2 и 7 22 27 72 77 В том случае, когда важен порядок следования элементов, в
- 60. Упорядоченные наборы элементов называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из
- 61. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству
- 62. А×А = {(а; а), (а; b), (а; с), (b; а), (b; b), (b; с), (с; а),
- 63. Декартовым произведением множеств Х1, Х2, …, Хn называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых
- 64. (3;4;6), (3;4;7), (3;5;6), (3;5;7)}. А×В×С = {(1;4;6), (1;4;7), (1;5;6), (1;5;7), (2;4;6), (2;4;7), (2;5;6), (2;5;7), 2) А
- 65. Свойства декартова умножения 3. Дистрибутивный закон декартова умножения относительно объединения: (А∪В)×С = (А×С) ∪ (В×С) 1.
- 66. 4. Дистрибутивный закон декартова умножения относительно пересечения: (А∩В)×С = (А×С) ∩ (В×С) 5. Дистрибутивный закон декартова
- 67. График декартова произведения двух числовых множеств Примеры: Построить график декартова произведения множеств А и В. А×В={(1;3),
- 68. 2) А = [2; 5], В = {1, 3, 5} 3) А = [2; 5], В
- 69. 4) А = [2; 5], В = R 5) А = [-2; 2], В = ]2;
- 70. Определить, декартово произведение каких множеств А и В изображено на рисунке: а) А = {1, 2,
- 72. Скачать презентацию