Матрицы. Действия над матрицами

Содержание лекции

Ключевые понятия

Основные понятия и определения

Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и

Обозначение матрицы

Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или

Действия над матрицами

Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы,

Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по

Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы

Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица

Свойства операций над матрицами

А+В=В+А
А∙В≠В∙А
α∙(А+В)= αА+ αВ
А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)

5) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так

6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА;

Обратная матрица

Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е.
Вывод 1: обратная

Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется

Теорема о единственности обратной матрицы.
Если матрица имеет обратную, то единственную.

Теорема о существовании обратной матрицы.
Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно,

Алгоритм построения обратной матрицы

1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц

3) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк

Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0.
Столбцы

Теорема.
Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.
Теорема.
Столбцы

Ранг матрицы

Дана матрица размером n×m.
Минором порядка r (Mr) называется определитель, составленный

Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и

Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно

Теорема.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейно-независимых строк

Теорема.
Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы.
К линейным

перестановка строк местами;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое

Теорема.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения

Применим к матрице элементарные преобразования.
Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы.
Ниже или выше

Вопросы и задания для самопроверки

Рекомендуемая литература