Матрицы и определители

Август 24, 2022

Главная
Математика
Матрицы и определители

Содержание

2. Основные сведения о матрицах
3. Понятие матрицы Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначение
4. Запись матриц В общем виде В сокращенной форме
5. Пример
6. Виды матриц Определение: Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.
7. Виды матриц Матрица, размерности: 1×n называется матрицей-строкой или вектором-строкой m×1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом
8. Виды матриц Матрица размерности n×n называется квадратной порядка n Пример - квадратная матрица второго порядка
9. Диагональ матрицы Элементы матрицы, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и составляют
10. Виды квадратных матриц Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной матрицей. Пример:
11. Виды квадратных матриц Если у диагональной матрицы порядка n все диагональные элементы равны 1, матрица называется
12. Виды матриц
13. Операции над матрицами
14. Операции над матрицами Умножение матрицы на число Сложение матриц Вычитание матриц Умножение матриц Возведение в степень
15. Умножение матрицы на число Выполнимо для любых матриц и любых чисел Производится поэлементно Правило: Пример:
16. Сложение матриц Выполнимо только для матриц одинаковой размерности Производится поэлементно Правило: Пример:
17. Вычитание матриц Выполнимо только для матриц одинаковой размерности Производится поэлементно Правило: или Пример:
18. Умножение матриц Выполнимо если число столбцов первого множителя равно числу строк второго Правило: Примеры:
19. Возведение в степень Выполнимо для квадратных матриц Правила: Пример:
20. Транспонирование Выполнимо для любой матрицы Обозначение: АТ или А' Правило: поменять строки на столбцы с сохранением
21. Определители квадратных матриц
22. Зачем нужны определители? Понятие определителя возникло в связи с проблемой решения системы n-линейных алгебраических уравнений. Например,
23. системы двух линейных уравнений: или трех линейных уравнений:
24. Первые идеи, которые привели к созданию теории определителей и применению их к решению систем линейных алгебраических
25. В XVIII столетии вопросами теории определителей и систем линейных алгебраических уравнений занимались: Г. Крамер, французские ученые
26. П. С. Лаплас (1749-1827) Доказал теорему о разложении определителя по строкам(столбцам), а также ряд важных свойств
27. Ж. Л. Лагранж (1736-1813) Ввел обозначение для определителя, рассмотрел алгебраические дополнения, доказал теоремы замещения и аннулирования.
28. К. Ф. Гаусс (1777-1855) Рассмотрел произведение определителей второго порядка, ввел название «детерминант».
29. Н. И. Лобачевский (1792-1856) Предложил свой собственный способ решения систем линейных уравнений. Впервые включил теорию определителей
30. Определитель матрицы Любой квадратной матрице ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или
31. Определитель первого порядка Определяется по формуле: при А=(а11) ∆1=а11 Пример: А=(-5) ∆1= ∆А = - 5
32. Определитель второго порядка Определяется формулой: Пример:
33. Определитель третьего порядка Определяется формулой
34. Определитель третьего порядка Знаки произведений определяются с помощью правила треугольников или правила Сарруса:
35. Определитель n-го порядка Определителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n! произведений n-го порядка элементов
36. Минор Рассмотрим квадратную матрицу Аn Минором называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычеркиваем из матрицы А i-й
37. Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением называется минор , взятый со знаком , т.е. Пример Матрица, составленная из
38. Теорема Лапласа Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: - разложение
39. Теорема Лапласа (пример) Вычислить Решение:
40. Свойства определителей При транспонировании ∆ не меняется. При перестановке двух строк ∆ меняет знак. ∆=0 если:
41. Свойства определителей Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению ее
42. Способы вычисления определителей Перебором всевозможных произведений (по определению); Разложением по строке или столбцу (по теореме Лапласа);
43. Обратная матрица Обозначение: А-1–обратная для матрицы А Определение: Матрицей А-1, обратной к данной квадратной матрице А,
44. Обратимость матрицы Если определитель квадратной матрицы равен нулю (∆А=0), матрица называется вырожденной. Если определитель отличен от
45. Алгоритм нахождения обратной матрицы Вычислить ∆А. Если ∆А=0, то А-1 не существует. Если ∆А≠0, найти алгебраические
46. Нахождение обратной матрицы (пример) Найти матрицу, обратную к Решение: 1. ∆А = -1∙1 - 2∙0 =
47. Нахождение обратной матрицы (пример) 4. 5. Проверка: Ответ:
48. Ранг матрицы Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: rang
50. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные сведения о матрицах

Слайд 3

Понятие матрицы
Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк

и n столбцов.
Обозначение матриц: A, B, C, X, …
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Обозначение элементов:
где i – номер строки, j – номер столбца

Слайд 4

Запись матриц
В общем виде
В сокращенной форме

Слайд 5

Пример

Слайд 6

Виды матриц
Определение: Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все

ее элементы равны нулю.
Обозначение: О
Пример:

Слайд 7

Виды матриц
Матрица, размерности:
1×n называется матрицей-строкой или вектором-строкой
m×1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом

Слайд 8

Виды матриц
Матрица размерности n×n называется квадратной порядка n
Пример
- квадратная матрица

второго порядка

Слайд 9

Диагональ матрицы
Элементы матрицы, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j),

называются диагональными и составляют главную диагональ матрицы.
Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется её следом. Обозначается trA.

Слайд 10

Виды квадратных матриц
Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю,

называется диагональной матрицей.
Пример:
- диагональная матрица
второго порядка

Слайд 11

Виды квадратных матриц
Если у диагональной матрицы порядка n все диагональные элементы

равны 1, матрица называется единичной порядка n.
Обозначение En
Пример
- единичная матрица
третьего порядка

Слайд 12

Виды матриц

Слайд 13

Операции над матрицами

Слайд 14

Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Сложение матриц
Вычитание матриц
Умножение матриц
Возведение в степень
Транспонирование

матрицы

Слайд 15

Умножение матрицы на число
Выполнимо для любых матриц и любых чисел
Производится поэлементно
Правило:
Пример:

Слайд 16

Сложение матриц
Выполнимо только для матриц одинаковой размерности
Производится поэлементно
Правило:
Пример:

Слайд 17

Вычитание матриц
Выполнимо только для матриц одинаковой размерности
Производится поэлементно
Правило:
или
Пример:

Слайд 18

Умножение матриц
Выполнимо если число столбцов первого множителя равно числу строк второго
Правило:
Примеры:

Слайд 19

Возведение в степень
Выполнимо для квадратных матриц
Правила:
Пример:

Слайд 20

Транспонирование
Выполнимо для любой матрицы
Обозначение: АТ или А'
Правило: поменять строки на столбцы

с сохранением порядка.
Пример:

Слайд 21

Определители квадратных матриц

Слайд 22

Зачем нужны определители?
Понятие определителя возникло в связи с проблемой решения системы

n-линейных алгебраических уравнений. Например, если рассмотреть простейшие случаи, когда n=2,n=3, то получим

Слайд 23

системы двух линейных уравнений:
или трех линейных уравнений:

Слайд 24

Первые идеи, которые привели к созданию теории определителей и применению их

к решению систем линейных алгебраических уравнений, восходят к знаменитому ученому Г. В. Лейбницу.
В 1693 году Лейбниц по существу ввел понятие определителя.

Из истории создания определителей.

Слайд 25

В XVIII столетии вопросами теории определителей и систем линейных алгебраических уравнений

занимались: Г. Крамер, французские ученые Э. Безу, П. С. Лаплас,
А. Т. Вандермонд, Ж. Л. Лагранж, О. Л. Коши, знаменитый ученый К. Ф. Гаусс, английский математик А. Келли, гениальный русский ученый
Н. И. Лобачевский.

Слайд 26

П. С. Лаплас (1749-1827)
Доказал теорему о разложении определителя по строкам(столбцам), а

также ряд важных свойств определителей.

Слайд 27

Ж. Л. Лагранж (1736-1813)
Ввел обозначение для определителя, рассмотрел алгебраические дополнения, доказал

теоремы замещения и аннулирования.

Слайд 28

К. Ф. Гаусс (1777-1855)
Рассмотрел произведение определителей второго порядка, ввел название «детерминант».

Слайд 29

Н. И. Лобачевский (1792-1856)
Предложил свой собственный способ решения систем линейных уравнений.

Впервые включил теорию определителей в учебное пособие по алгебре.

Слайд 30

Определитель матрицы
Любой квадратной матрице ставится в соответствие по определенному закону некоторое

число, называемое определителем или детерминантом.
Обозначение:
det A или |А| или ∆А или ∆n или ∆
Определитель матрицы – это число.
Определитель существует только для квадратных матриц.

Слайд 31

Определитель первого порядка
Определяется по формуле:
при А=(а11) ∆1=а11
Пример:
А=(-5) ∆1= ∆А =

- 5

Слайд 32

Определитель второго порядка
Определяется формулой:
Пример:

Слайд 33

Определитель третьего порядка
Определяется формулой

Слайд 34

Определитель третьего порядка
Знаки произведений определяются с помощью правила треугольников или правила

Сарруса:

Слайд 35

Определитель n-го порядка
Определителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n!

произведений n-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы

Слайд 36

Минор
Рассмотрим квадратную матрицу Аn
Минором называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычеркиваем из

матрицы А i-й строки и j-го столбца.
Пример:

Слайд 37

Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением называется минор , взятый со знаком , т.е.

Пример
Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, называется присоединенной матрицей и обозначается

Слайд 38

Теорема Лапласа
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их

алгебраические дополнения:
- разложение определителя по элементам i-й строки
Используется для вычисления определителей порядка выше третьего.

Слайд 39

Теорема Лапласа (пример)
Вычислить
Решение:

Слайд 40

Свойства определителей
При транспонировании ∆ не меняется.
При перестановке двух строк ∆ меняет

знак.
∆=0 если:
содержит нулевую строку (столбец);
содержит две одинаковые строки;
содержит две пропорциональные строки.
Если все элементы строки умножить на число λ, то ∆ увеличится в λ раз; общий множитель строки можно вынести за знак ∆.
Если к элементам строки прибавить элементы другой строки, умноженной на число ≠0, то ∆ не меняется.

Слайд 41

Свойства определителей
Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Определитель диагональной матрицы

равен произведению ее диагональных элементов

Слайд 42

Способы вычисления определителей
Перебором всевозможных произведений (по определению);
Разложением по строке или столбцу

(по теореме Лапласа);
С использованием свойств определителей;
Сочетание способов.

Слайд 43

Обратная матрица
Обозначение: А-1–обратная для матрицы А
Определение: Матрицей А-1, обратной к данной

квадратной матрице А, называется такая, что выполняется равенство:
А-1∙А = А∙ А-1 = Е.
Пример: -обратна матрице ,
т.к.

Слайд 44

Обратимость матрицы
Если определитель квадратной матрицы равен нулю (∆А=0), матрица называется вырожденной.

Если определитель отличен от нуля (∆А≠0), матрица называется невырожденной.
Критерий обратимости матрицы:
А имеет обратную ↔ А – невырожденная
Обратную матрицу можно найти по формуле:

Слайд 45

Алгоритм нахождения обратной матрицы
Вычислить ∆А. Если ∆А=0, то А-1 не существует.
Если

∆А≠0, найти алгебраические дополнения всех элементов. Составить
Транспонировать матрицу
Выполнить умножение на
Выполнить проверку равенства А-1∙А = Е.

Слайд 46

Нахождение обратной матрицы (пример)
Найти матрицу, обратную к
Решение:
1. ∆А = -1∙1

- 2∙0 = -1 ≠0 → А-1 существует.
2.
Итак,
3.

Слайд 47

Нахождение обратной матрицы (пример)
4.
5. Проверка:
Ответ:

Слайд 48

Ранг матрицы
Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров

этой матрицы.
Обозначение: rang A или r(A).
Ранг матрицы показывает число ее линейно независимых строк (столбцов).

Матрицы и определители

Содержание

Основные сведения о матрицах

Понятие матрицыМатрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк

Запись матрицВ общем видеВ сокращенной форме

Пример

Виды матрицОпределение: Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все

Виды матрицМатрица, размерности:1×n называется матрицей-строкой или вектором-строкойm×1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом

Виды матрицМатрица размерности n×n называется квадратной порядка nПример - квадратная матрица

Диагональ матрицыЭлементы матрицы, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j),

Виды квадратных матрицКвадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю,

Виды квадратных матрицЕсли у диагональной матрицы порядка n все диагональные элементы

Виды матриц

Операции над матрицами

Операции над матрицамиУмножение матрицы на числоСложение матрицВычитание матрицУмножение матрицВозведение в степеньТранспонирование

Умножение матрицы на числоВыполнимо для любых матриц и любых чиселПроизводится поэлементноПравило:Пример:

Сложение матрицВыполнимо только для матриц одинаковой размерностиПроизводится поэлементноПравило:Пример:

Вычитание матрицВыполнимо только для матриц одинаковой размерностиПроизводится поэлементноПравило: илиПример:

Умножение матрицВыполнимо если число столбцов первого множителя равно числу строк второгоПравило:Примеры:

Возведение в степеньВыполнимо для квадратных матрицПравила:Пример:

ТранспонированиеВыполнимо для любой матрицыОбозначение: АТ или А'Правило: поменять строки на столбцы

Определители квадратных матриц

Зачем нужны определители?Понятие определителя возникло в связи с проблемой решения системы

системы двух линейных уравнений:или трех линейных уравнений:

Первые идеи, которые привели к созданию теории определителей и применению их

В XVIII столетии вопросами теории определителей и систем линейных алгебраических уравнений

П. С. Лаплас (1749-1827)Доказал теорему о разложении определителя по строкам(столбцам), а

Ж. Л. Лагранж (1736-1813)Ввел обозначение для определителя, рассмотрел алгебраические дополнения, доказал

К. Ф. Гаусс (1777-1855)Рассмотрел произведение определителей второго порядка, ввел название «детерминант».

Н. И. Лобачевский (1792-1856)Предложил свой собственный способ решения систем линейных уравнений.

Определитель матрицыЛюбой квадратной матрице ставится в соответствие по определенному закону некоторое

Определитель первого порядкаОпределяется по формуле: при А=(а11) ∆1=а11 Пример: А=(-5) ∆1= ∆А =

Определитель второго порядкаОпределяется формулой:Пример:

Определитель третьего порядкаОпределяется формулой

Определитель третьего порядкаЗнаки произведений определяются с помощью правила треугольников или правила

Определитель n-го порядкаОпределителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n!

МинорРассмотрим квадратную матрицу АnМинором называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычеркиваем из

Алгебраическое дополнениеАлгебраическим дополнением называется минор , взятый со знаком , т.е.

Теорема ЛапласаОпределитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их

Теорема Лапласа (пример)Вычислить Решение:

Свойства определителейПри транспонировании ∆ не меняется.При перестановке двух строк ∆ меняет

Свойства определителейОпределитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.Определитель диагональной матрицы

Способы вычисления определителейПеребором всевозможных произведений (по определению);Разложением по строке или столбцу

Обратная матрицаОбозначение: А-1–обратная для матрицы АОпределение: Матрицей А-1, обратной к данной

Обратимость матрицыЕсли определитель квадратной матрицы равен нулю (∆А=0), матрица называется вырожденной.

Алгоритм нахождения обратной матрицыВычислить ∆А. Если ∆А=0, то А-1 не существует.Если

Нахождение обратной матрицы (пример)Найти матрицу, обратную к Решение:1. ∆А = -1∙1

Нахождение обратной матрицы (пример)4.5. Проверка:Ответ:

Ранг матрицыОпределение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров

Похожие презентации