Метод математической индукции

Июль 22, 2022

Главная
Математика
Метод математической индукции

Содержание

2. Утверждения Общие Частные Все граждане России Петров имеет право на имеют право на образование. образование. Во
3. Дедукция – переход от общих утверждений к частным. Пример. Все граждане России имеют право на образование.
4. Индукция – переход от частных утверждений к общим. Пример. 140 делится на 5. Все числа, оканчивающиеся
5. , Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числа простые, сделал по индукции предположение, что для
6. В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5 составное число.
7. Индукция Полная Неполная Требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4 Для этого
8. Задача. Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда. 1,3,5,7,9,11,13… Чему равна сумма n первых членов этой
9. Решение: Рассмотрим частные случаи: 1=1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 1+3+5+7+9=25 … Общий вывод: 1+3+5+…+(2n-1)=n2. Как же узнать,
10. Принцип математической индукции Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если: Оно справедливо для n=1 или
11. Алгоритм доказательства методом математической индукции Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза
12. Суть доказательства методом математической индукции: базис проверить верность утверждения при n= 1 индукционный шаг - допустить,
13. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2. Доказательство: Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1. Пусть k-любое натуральное число и
14. Задача Доказать, что при n≥2.
15. Доказательство: 1. Проверим верность утверждения при n=2. Следовательно, утверждение верно при n=2. 2. Пусть утверждение справедливо
16. Задача Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение
17. Задача Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна
18. Метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и
19. «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Утверждения
Общие Частные
Все граждане России Петров имеет право на
имеют право на

образование. образование.
Во всяком параллелограмме В параллелограмме ABCD
диагонали в точке пересечения диагонали в точке пересечения
делятся пополам. делятся пополам.
Все числа, оканчивающиеся 140 делится на 5.
нулём, делятся на 5.

Слайд 3

Дедукция – переход от общих утверждений к частным.
Пример.
Все граждане России имеют

право на образование.
Петров – гражданин России.
Петров имеет право на образование.

Слайд 4

Индукция – переход от частных утверждений к общим.
Пример.
140 делится на 5.
Все

числа, оканчивающиеся нулём, делятся на 5.
140 делится на 5.
Все трёхзначные числа делятся на 5.

Слайд 5

,
Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числа
простые, сделал по

индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида
простые.

Слайд 6

В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5
составное число.

Слайд 7

Индукция
Полная Неполная
Требуется установить, что каждое натуральное чётное число n

в пределах 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел.
Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Слайд 8

Задача.
Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.
1,3,5,7,9,11,13…
Чему равна сумма n

первых членов этой последовательности?

Слайд 9

Решение:
Рассмотрим частные случаи:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25 …
Общий вывод: 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
Как же узнать, справедливо

ли это утверждение вообще?

Слайд 10

Принцип математической индукции
Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:
Оно

справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.
Из справедливости утверждения для какого либо произвольного натурально n=k следует его справедливость для n=k+1.

Слайд 11

Алгоритм доказательства методом математической индукции
Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных

чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис индукции).
Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1 (индукционный шаг).
Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

Слайд 12

Суть доказательства
методом математической индукции:
базис проверить верность утверждения при n= 1

индукционный шаг
- допустить, что утверждение верно при n= k
- доказать, что утверждение верно при n= k+1
Докажите, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Слайд 13

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
Доказательство:
Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1.
Пусть k-любое натуральное

число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е. 1+3+5+…+(2k-1)=k2.
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2.
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2.
Итак, утверждение 1+3+5+…+(2n-1)=n2 истинно для любого натурального n.

Слайд 14

Задача
Доказать, что
при n≥2.

Слайд 15

Доказательство:
1. Проверим верность утверждения при n=2.
Следовательно, утверждение верно при

n=2.
2. Пусть утверждение справедливо для n=k>2, т.е.
Докажем истинность утверждения для n=k+1, т.е. что
Итак, утверждение истинно для любого натурального n≥2.

Слайд 16

Задача
Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение

Слайд 17

Задача
Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна

Слайд 18