Теорема
Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число
а является корнем многочлена р(х), то а – делитель свободного члена многочлена р(х).
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх3 + сх2+ dx + т, где все коэффициенты b, с, d, т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х).
Это значит, что р(а) = 0, т. е. bаз + ca2 + da + m = 0.
Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа2 – са – d) и обозначим целое число (– bа2 – са – d) буквой k.
Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что число а – делитель числа т, т. е. делитель свободного члена многочлена р(х).
Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n-й степени.