Многогранники. Тела вращения. Тема 8

вместе со своей границей вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Определение тела вращения

вращением треугольника вокруг оси, содержащей его сторону:

содержащей большее основание трапеции.

Конусы

Цилиндр

окружность некоторого радиуса.
Если из каждой точки окружности провести взаимно параллельные прямые пресекающие плоскость β, то в плоскости β получится окружность такого же радиуса.
Отрезки прямых, заключенных между параллельными плоскостями образуют в этом случае цилиндрическую поверхность.

Цилиндр – это тело, заключенное между двумя кругами расположенными в параллельных плоскостях и цилиндрической поверхностью.

α

β

содержащей его сторону.

Верхний и нижний круги – это основания цилиндра.

Прямая проходящая через центры кругов – это ось цилиндра.

Отрезок параллельный оси цилиндра, концы которого лежат на окружностях основания – это образующая цилиндра.

Радиус основания - это радиус цилиндра.

Высота цилиндра - это перпендикуляр между основаниями цилиндра.

рассматривается прямой круговой цилиндр

парабола

В сечении –

Замечание: Секущая плоскость может располагаться по-разному, рассмотрим некоторые виды сечений

Сечение плоскостью параллельной оси цилиндра Плоскость сечения параллельна оси цилиндра и перпендикулярна основаниям. В сечении –

Сечение плоскостью параллельной основанию цилиндра Плоскость сечения параллельна основаниям цилиндра и перпендикулярна оси. В сечении –

прямоугольник.

прямоугольник.

круг.

цилиндра.

Sполн = 2πR(R + h)

прямоугольник.

Боковая поверхность цилиндра есть …

Полная поверхность состоит из 2 оснований и боковой поверхности.

Площадь основания находим как площадь круга

S = πR2

R – радиус основания цилиндра

Одна сторона прямоугольника – это высота цилиндра (h), другая – длина окружности основания (2πR). Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению сторон прямоугольника.

Получаем, Sполн = Sбок + 2Sосн = 2πRh + 2πR2

2πR

R

h

R

поверхность цилиндра, если его высота увеличится в 5 раз, а радиус основания останется прежним?

Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 5 раз.

Sбок =2πRh

R

5h

R

h

Sбок =2πR5h = 10πRh

Задача 2. Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания увеличится в 2 раза, а высота останется прежней?

R

h

2R

h

Sбок =2πRh

Sбок =2π2Rh = 4πRh

Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 2 раза.

Равны ли высоты этих цилиндров?

Ответ: нет

Sсеч =2R·h

h

Задача 4. Стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг меньшей стороны.

5 см

R=5 см, h=4см

Sполн =2πR(h +R)= 2π· 5 ·(4 + 5) =90π

Ответ: площадь полной поверхности равна 90 π см2

h

2R

2R

Sсеч =h·2R

4 см

из него изготовлена труба длиной 8 м и диаметром 32 см?

Задача 6. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?

Ответ: 2,56π м2

Задача 8. Сколько 2-х килограммовых банок краски нужно купить для окрашивания полуцилиндрического свода подвала длиной 6 м и высотой 2,9 м. Расход краски 100 г на 1 м2.

Ответ: ≈1,4 ·10 Н

Ответ: 11000π м2

Задача 7. Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м, длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла.

Ответ: 3 банки

2R
Sбок= πdh;
Sбок = π ·0,32·8 = 2,56 π

Найдите площадь листа жести, если из него изготовлена труба длиной 8 м и диаметром 32 см?

S - ?

8 м

32 см

Дано: цилиндр, h = 8 м, d = 32 см.
Найти: Sбок

Ответ: 2,56π м2

изготовление 1 банки:
d = 2R, R = 0,5d= 5см, Sполн= 2πR(R+h); Sполн = π ·2·5 ·(5 + 5) = 100π (см2)
10% = 0,1; Sбанки= 100π + 0,1·100π = 110π (см2) 2) Sматериала = 1000000 ·110π = 11 ·107π (см2),
1м2 = 10000 см2; Sматериала = 11000 π (см2).

S, м2 - ?

5см

10 см

Дано: цилиндр, h = 5 см, d = 10 см, n = 1 млн. штук
Найти: Sматериала

Ответ: 11000π м2 ≈ 34540 м2

Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?

Sполн = 2πR(R+h)=2 · 0,5 ·π·(0,5 + 3,8) = 4,3π ≈13,502 (м2)

3,8 м

1 м

Дано: h = 3,8 м, d= 1 м, P = 10 атм
Найти: F

Ответ: ≈1,4 · 107 Н

Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м, длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла.

следовательно F= P·S, где F – сила давления пара на стенки котла, P – это давление пара, S – площадь поверхности котла.

2) P = 10 атм = 1 МПа = 106 Па
F = 13,502 · 106 ≈ 1,4·107 Н

0,5Sбок=0,5 ·2·2,9 ·6π = 17,4 π ≈17,4 ·3,14 = 54,636(м2)
2) На 1 м2 расходуется 100 г = 0,1 кг краски, значит на окраску свода потребуется 54,636 · 0,1 = 5,4636 (кг) краски,
т. к. банки по 2 кг, то 5,4636 : 2 ≈ 3 банки краски

6 м

2,9 м

Дано: h = 6 м, R = 2,9 м, mбанки= 2 кг, 100 г на 1 м2
Найти: n – количество банок

Ответ: 3 банки краски

Сколько 2-х килограммовых банок краски нужно купить для окрашивания полуцилиндрического свода подвала длиной 6 м и высотой 2,9 м. Расход краски 100 г на 1 м2.

α расположим окружность некоторого радиуса. Проведем прямые проходящие через точку С и все точки окружности. Поверхность, образованная отрезками с концами на окружности и в точке С образуют коническую поверхность.

Конус – это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, включая окружность.

α

С

оси, содержащей его катет.

Круг – это основание конуса.

Прямая проходящая через центр круга и вершину конуса – есть ось конуса.

Отрезок соединяющий вершину с любой точкой окружности основания – это образующая конуса.

Радиус основания - это радиус конуса.

Высота конуса - это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса к основанию.

Конус

Точка вне круга с которой соединяются все точки окружности – это вершина конуса.

Замечание: так как ось перпендикулярна основанию и проходит через вершину, то высота конуса лежит на его оси.

сечении получается эллипс.
2) Если плоскость сечения параллельна одной из образующих, то в сечении получается парабола.
3) Если плоскость сечения пересекает обе полости конической поверхности, то в сечении получается гипербола.

В сечении –

Сечение плоскостью параллельной основанию конуса. Плоскость сечения параллельна основанию конуса и перпендикулярна оси.
В сечении –

равнобедренный треугольник.

круг.

развертка.

Sполн = πR(l + R)

сектор.

Боковая поверхность конуса есть …

Полная поверхность состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь основания находим как площадь круга

S = πR2

R – радиус основания цилиндра

Площадь боковой поверхности вычисляется как площадь сектора радиус которого равен длине образующей конуса (l), а дуга равна длине окружности основания (2πR). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π.

Получаем, Sполн = Sбок + Sосн = πRl + πR2

l

l

R

2πR

R

Подробнее о площади сектора

и выражаем α через радиус (R) и образующую (l). Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса 2πR , с другой стороны ее можно вычислить по формуле для длины дуги. Получаем равенство:

r = l

α

r – радиус круга, α – величина дуги в градусах, R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса

Выразим α и подставим в формулу площади сектора круга.

поверхность конуса, если его образующая увеличится вдвое, а радиус основания одновременно увеличится в 3 раза?

Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 6 раз.

Sбок =πRl

R

l

Sбок = π 3R2l = 6πRl

Задача 10. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей конуса, длина образующей которого равна 10 см, а радиус основания 3 см.

Sосн =πR2 = π · 32 = 9π (см2)

Sполн = 39π (см2)

Ответ: 30π см2, 39π см2

3R

2l

Sбок = π 3·10 = 30π (см2)

3

10

высоту 2 м. сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м x 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от площади крыши.

1) Вычислим площадь листа кровельного железа 0,7 · 1,4 = 0,98 м2

4) Sбок = π Rl = π ·3 · √13 = 3√13π (м2)

Sматериала = 3√13π + 0,1 · 3√13π = 3,3√13π (м2)
Sматериала ≈ 37,36 м2

Ответ: количество листов равно 39 штук.

3

l

2) вычислим радиус, конуса R = 0,5 d= 0,5 · 6 = 3 (м), h– высота конуса, h = 2 м. 3) Образующую конуса найдем по теореме Пифагора

2

1,4 м

0,7 м

2 м

5) Вычислим количество листов кровельного железа 37, 36 : 0,98 = 38,12 ≈ 39

«Шапито», если диаметр шатра составляет 32 м, а высота 22 м, причем высота крыши равна 12 м? Добавить 5% ткани на швы и отходы.

Шатер представляет собой конус и цилиндр. Ткань нужна только для боковых поверхностей этих тел.

Sбок к = π Rl = π ·16 · 20 = 320π (м2)

Sполн = 480π + 0,05 · 480π = 504π (м2)

Ответ: 504π м2 ≈ 1582,56 м2 ткани

Sбок ц = 2πRh = 2 π ·16·10 = 160π (м2)

16

l

12м

22 -12 = 10 м

Сделаем предварительные расчеты 1) вычислим радиус, он одинаков для цилиндра и конуса R = 0,5 d= 0,5 · 32 = 16 (м), 2) H – высота конуса, h – высота цилиндра H = 12 м, h = 10 м. 3) Образующую конуса найдем по теореме Пифагора:

12

на расстоянии, не большем данного, от заданной точки точки.

Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.

Эта точка называется центром шара.

Расстояние от центра шара до любой точки поверхности называется – радиусом шара

Сфера – это поверхность все точки которой равноудалены от заданной точки.

плоскостью, не проходящей через центр.
В сечении –

круг.

В этом случае в сечении получается круг наибольшего радиуса, его называют большой круг шара.

круг.

Теорема: Площадь поверхности шара равна четыре площади большого круга шара.

S = 4πR2

плоскости, R – радиус сферы

d < R
Плоскость пересекает сферу и называется секущей

z

y

x

R

r

r – радиус сечения сферы

Вычислить радиус сечения можно используя теорему Пифагора.

d

плоскости, R – радиус сферы

d = R
Плоскость имеет одну общую точку со сферой и называется касательной

z

y

x

Теорема: Радиус сферы проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

R

плоскости, R – радиус сферы

d > R
Плоскость не имеет общих точек со сферой.

z

y

x

ОА из ΔАСО.

S =4πR2

30°

6

О

С

А

Ответ: S = 192π ед2

корабль, В и С – точки касания.

Задача 13. Наибольшая высота орбиты корабля «Восток-2», на котором летал космонавт Г.С. Титов, равна 244 км. Найдите угол, под которым космонавт видел Землю в момент наибольшего удаления от нее (радиус Земли примерно равен 6371 км).

Решение задач

Rз

О

А

В

С

⇒ ∠ВАО = 74°23`,
значит ∠ВАС = 148°46`≈149°.

∠ВАС - искомый угол.
Углы В и С прямые, теорема о радиусе проведенном в точку касания. ΔАВО =ΔАСО, т.к. АО общая, АВ= АС как отрезки касательных ⇒ ∠ВАО = ∠САО.

ОА = 6371 + 244 = 6615 км, ОВ = 6371 км

Ответ: Космонавт видит Землю под углом ≈149°

Этой же мере соответствует центральный угол АОВ = 66°

Задача 14. Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км)

Решение задач

О

С

А

экватор

полярный круг

Северный полюс

В

66°

2)Дуга от Северного полюса до экватора равна 90°. Значит, ∠СОВ = 90°.
Тогда, ∠СОА = 90° - 66° = 24°.

3)Используя синус угла СОА в прямоугольном ΔАСО найдем СА:

CA= AO· sin(∠COA)= 6400 · sin 24° = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)

4) СА есть радиус окружности полярного круга, найдем длину этой окружности:
2π·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км

Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км

равен сумме объёмов этих тел

Q

F

V = VF + VQ

не меньше объёма второго

1 см

 

V = a3 ⇒ V = 1 см3

 

 

Sосн. · h

Следствие 2

Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту

 

A

B

C

A1

B1

C1

a

b

c

S = ab

Sосн. = 2SABC

36

aс = 3, bс = 3, hс = 4

Найти: V

aс, bс, hс и aз, bз, hз — ширина, длина и высота параллелепипедов

Vз = aзbзhз = 1· 3 · 1 = 3

Ответ: V = 39

bз = 3,

aз = 3 – 2 = 1,

V = Vc + Vз = 36 + 3 = 39

aс

bс

hс

aз

bз

hз

2

5

hз = 5 – 4 = 1

Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

h1 = 65

Ответ: 95 кирпичей

 

250

120

65

a2 = 2000, b2 = 120, h2 = 700

V2 = a2b2h2

250х120х65 — размер кирпича

2200х120х700 — размер проёма

· h

— ребро призмы

б) n = 4

в) n = 6

V = Sосн. · h

г) n = 8

б) n = 4

 

V = Sосн. · h

 

 

в) n = 6

V = Sосн. · h

 

 

г) n = 8

 

2 см

 

a) V = πr2h

 

r = h,

V = πh2h = πh3

 

h = 3 см

V — объём, r — радиус
h — высота

б) r = h,

V = 8π см3

Ответ: V = 24π см3

r

h

 

S и S1 — площади оснований

 

O

O1

h

R

R1

b

Δ прямоугольный

 

Ответ: V = 16π или V = 12π

h — высота конуса

1) R — радиус основ. конуса

V = πR2h

Sосн. = πR2

а = 4, b = 3

R = а = 4, h = b = 3

 

 

2) R = b = 3, h = a = 4

 

Sосн. = πR2

 

 

4

3

4

4

R

3

h

h

4

3

3

R