Многомерные модели временных рядов

Июль 21, 2022

Главная
Математика
Многомерные модели временных рядов

Содержание

2. План лекции Модели стационарных временных рядов: Модель распределенных лагов; Авторегрессионная модель распределенных лагов; Автокорреляция.
3. Многомерные модели временных рядов Ранее мы рассматривали модели для единственного временного ряда. Теперь мы будем анализировать
4. Примеры вопросов о динамических причинно-следственных связях Как увеличение налога на сигареты скажется на их потреблении в
5. В рамках этой лекции мы предполагаем, что выполняется предпосылка о стационарности всех используемых временных рядов. Динамические
6. The Distributed-Lag Model Предпосылки: Регрессоры экзогенны: Нет совершенной мультиколлинеарности Временные ряды и стационарны Временные ряды и
7. The Distributed-Lag Model Оценивание: При выполнении предпосылок 1- 4 МНК дает состоятельные оценки коэффициентов модели. Модель
8. Интерпретация: - мгновенный эффект: мгновенное влияние на - динамический мультипликатор j-го периода, j ≥ 1. -
9. - мгновенный эффект: увеличение расходов на рекламу на единицу увеличивает объем продаж в том же периоде
10. - долгосрочный динамический мультипликатор: увеличение расходов на рекламу на единицу увеличивает объем продаж в сумме по
11. Заморозки во Флориде и цены на апельсины Во Флориде производится значительная часть апельсинов, потребляемых в США.
14. Авторегрессионная модель распределенных лагов Естественное обобщение предыдущей модели – ADL(p,q) The Autoregressive Distributed-Lag Model
15. Эмпирическая кривая Филлипса (с адаптивными ожижданиями) Пример модели ADL(4,4) на основе данных о безработице и инфляции
16. Авторегрессионная модель распределенных лагов ADL(p,q) В качестве предпосылок по-прежнему требуется стационарность рядов x, y и экзогенность
17. ADL(p,q) Аналогично можно рассматривать случай большего числа объясняющих переменных … Но мы для краткости ограничимся одной.
18. ADL(p,q) Порядок лагов снова можно определять, используя критерии Акаике и Шварца. Авторегрессионная модель распределенных лагов
19. Динамические мультипликаторы в ADL модели Мгновенный эффект Накопленные динамические мультипликаторы: Для одного периода Для двух периодов
20. Тест Грейнджера на причинно-следственную связь Granger Causality Test Гипотеза «х не влияет на у»: Н0: Гипотеза
21. Если гипотеза «х не влияет на у» отклоняется и гипотеза «у не влияет на х» принимается,
22. Значимость коэффициентов и доверительные интервалы Если - белый шум, то можно использовать обычный подход к тестированию,
23. Автокорреляция План рассказа об автокорреляции: Что такое автокорреляция? Чем она плоха? Что можно сделать в случае
24. Автокорреляция случайных ошибок – такое же типичное явление для временных рядов, как гетероскедастичность для пространственных выборок.
25. Последствия автокорреляции МНК-оценки коэффициентов остаются несмещенными, но… МНК-оценки коэффициентов становятся неэффективными. Стандартные ошибки коэффициентов смещены и
26. Что делать в условиях автокорреляции? Робастные стандартные ошибки Обобщенный МНК
27. Робастные стандартные ошибки Как было сказано выше, оценки коэффициентов не смещены (хоть и неэффективны). Смещены и
28. Робастная к автокорреляции и гетероскедастичности стандартная ошибка коэффициента при переменной (HAC standard error): - робастная к
29. Робастные стандартные ошибки m – truncation parameter, определяется размером выборки: (с округлением до целого) Детали –
30. Обобщенный МНК Проиллюстрируем применение обобщенного МНК на примере автокорреляции первого порядка
31. Случай 1. Значение ρ известно Обобщенный МНК
32. Случай 1. Значение ρ известно Домножим второе уравнение на ρ Обобщенный МНК
33. Случай 1. Значение ρ известно Обобщенный МНК
34. Случай 1. Значение ρ известно Домножим второе уравнение на ρ Обобщенный МНК
35. Случай 1. Значение ρ известно Вычтем из первого уравнения второе Обобщенный МНК
36. Случай 1. Значение ρ известно Обобщенный МНК
37. Случай 1. Значение ρ известно Обобщенный МНК
38. Случай 1. Значение ρ известно Сделаем замену переменных: Обобщенный МНК
39. Случай 1. Значение ρ известно В новой модели нет автокорреляции Обобщенный МНК
40. Случай 2. Значение ρ неизвестно Обобщенный МНК
41. Случай 2. Значение ρ неизвестно Оцениваем исходную регрессию обычным МНК. Получаем ряд остатков. Оцениваем регрессию для
42. Два важных замечания: Замечание 1. Описанный выше алгоритм можно последовательно применить несколько раз: заново оценить остатки,
43. Два важных замечания: Замечание 2. Вернемся к уравнению Перепишем его следующим образом: Мы получили модель ADL.
44. Тестирование автокорреляции Как выяснить, есть ли в модели автокорреляция? Анализ графиков остатков. Коррелограмма остатков и тест
45. Тест Дарбина-Уотсона Расчетное значение тестовой статистики: Два критических значения:
46. ⟹ ρ > 0 ⟹ ρ = 0 ⟹ ρ В остальных случаях нельзя сделать вывод.
48. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции
Модели стационарных временных рядов:
Модель распределенных лагов;
Авторегрессионная модель распределенных лагов;
Автокорреляция.

Слайд 3

Многомерные модели временных рядов
Ранее мы рассматривали модели для единственного временного ряда.
Теперь

мы будем анализировать модели, включающие несколько рядов.
Мотивация:
Такой подход может улучшить качество прогнозов;
Такой подход позволяет отвечать на вопросы о динамических причинно-следственных связях.

Слайд 4

Примеры вопросов о динамических причинно-следственных связях
Как увеличение налога на сигареты скажется

на их потреблении в этом году, через год, через пять лет?
Банк России увеличил ставку рефинансирования. Как это скажется на инфляции через месяц? Через 2 месяца? Через 6 месяцев?
Как увеличение расходов на рекламу сегодня повлияет на объем продаж в следующем квартале?

Слайд 5

В рамках этой лекции мы предполагаем, что выполняется предпосылка о стационарности

всех используемых временных рядов.

Динамические модели со стационарными переменными

Слайд 6

The Distributed-Lag Model
Предпосылки:
Регрессоры экзогенны:
Нет совершенной мультиколлинеарности
Временные ряды и стационарны
Временные ряды и

имеют конечные восьмые моменты распределения (техническая предпосылка)

Модель распределенных лагов

Слайд 7

The Distributed-Lag Model
Оценивание:
При выполнении предпосылок 1- 4 МНК дает состоятельные оценки

коэффициентов модели.

Модель распределенных лагов

Слайд 8

Интерпретация:
- мгновенный эффект: мгновенное влияние на
- динамический мультипликатор

j-го периода, j ≥ 1.
- накопленный динамический мультипликатор j-го периода.
- долгосрочный динамический мультипликатор (эффект).

Модель распределенных лагов

Слайд 9

- мгновенный эффект: увеличение расходов на рекламу на единицу увеличивает объем

продаж в том же периоде на 0,3 единицы.
- накопленный динамический мультипликатор 1-го периода: увеличение расходов на рекламу на единицу увеличивает объем продаж в сумме в текущем и следующем периодах на 1,2 единицы.

Связь расходов на рекламу (xt) и объема продаж (yt) фирмы

Слайд 10

- долгосрочный динамический мультипликатор: увеличение расходов на рекламу на единицу

увеличивает объем продаж в сумме по итогам текущего и всех последующих периодов на 1,8 единицы.

Связь расходов на рекламу (xt) и объема продаж (yt) фирмы

Слайд 11

Заморозки во Флориде и цены на апельсины
Во Флориде производится значительная часть

апельсинов, потребляемых в США.
Заморозки во Флориде влияют на урожайность апельсинов, на их предложение и, следовательно, на их равновесную цену.
- равновесная цена апельсинов в месяце t
- количество дней заморозков во Флориде в месяце t
Источник данных: Stock, Watson

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Авторегрессионная модель распределенных лагов
Естественное обобщение предыдущей модели – ADL(p,q)
The Autoregressive Distributed-Lag

Model

Слайд 15

Эмпирическая кривая Филлипса (с адаптивными ожижданиями)
Пример модели ADL(4,4) на основе данных

о безработице и инфляции в США (1962 – 2004)

Слайд 16

Авторегрессионная модель распределенных лагов
ADL(p,q)
В качестве предпосылок по-прежнему требуется стационарность рядов x,

y и экзогенность регрессоров

Слайд 17

ADL(p,q)
Аналогично можно рассматривать случай большего числа объясняющих переменных
… Но

мы для краткости ограничимся одной.

Авторегрессионная модель распределенных лагов

Слайд 18

ADL(p,q)
Порядок лагов снова можно определять, используя критерии Акаике и Шварца.
Авторегрессионная модель

распределенных лагов

Слайд 19

Динамические мультипликаторы в ADL модели
Мгновенный эффект
Накопленные динамические мультипликаторы:
Для одного периода

Для двух периодов
Долгосрочный динамический мультипликатор:

Слайд 20

Тест Грейнджера на причинно-следственную связь
Granger Causality Test
Гипотеза «х не влияет на у»:

Н0:
Гипотеза «у не влияет на х»: Н0:

Слайд 21

Если гипотеза «х не влияет на у» отклоняется и гипотеза «у

не влияет на х» принимается, то говорят, что переменная х является причиной по Грейнджеру для переменной у.
Исторически сложившееся название теста не очень удачное: тест не может гарантировать наличия причинно-следственной связи.
Тест может указывать на потенциальную возможность ее наличия и на то, что одна переменная полезна при прогнозировании другой.

Тест Грейнджера на причинно-следственную связь

Слайд 22

Значимость коэффициентов и доверительные интервалы
Если - белый шум, то можно использовать

обычный подход к тестированию, который мы обсуждали для пространственных выборок.
Но на практике обычно коррелированы друг с другом, то есть описываются процессом авторегрессии:
⟹Автокорреляция случайных ошибок.

Слайд 23

Автокорреляция
План рассказа об автокорреляции:
Что такое автокорреляция?
Чем она плоха?
Что можно сделать в

случае автокорреляции?
Как понять, есть ли эта проблема в модели или нет?

Слайд 24

Автокорреляция случайных ошибок – такое же типичное явление для временных рядов,

как гетероскедастичность для пространственных выборок.
Ее последствия во многом аналогичны последствиям гетероскедастичности.

Автокорреляция

Слайд 25

Последствия автокорреляции
МНК-оценки коэффициентов остаются несмещенными, но…
МНК-оценки коэффициентов становятся неэффективными.
Стандартные ошибки коэффициентов

смещены и несостоятельны ⟹
t-статистики вычисляются некорректно

Слайд 26

Что делать в условиях автокорреляции?
Робастные стандартные ошибки
Обобщенный МНК

Слайд 27

Робастные стандартные ошибки
Как было сказано выше, оценки коэффициентов не смещены (хоть

и неэффективны).
Смещены и несостоятельны стандартные ошибки.
Один из подходов к решению проблемы – вычисление состоятельных (в условиях автокорреляции) стандартных ошибок
– HAC (heteroskedasticity and autocorrelation-consistent) standard errors

Слайд 28

Робастная к автокорреляции и гетероскедастичности стандартная ошибка коэффициента при переменной (HAC

standard error):
- робастная к гетероскедастичности оценка дисперсии
(в форме Уайта), см. лекцию по гетероскедастичности

Робастные стандартные ошибки

Слайд 29

Робастные стандартные ошибки
m – truncation parameter, определяется размером выборки:
(с округлением

до целого)

Детали –
[Stock, Watson] Ch. 15

Слайд 30

Обобщенный МНК
Проиллюстрируем применение обобщенного МНК на примере автокорреляции первого порядка

Слайд 31

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Слайд 32

Случай 1. Значение ρ известно
Домножим второе уравнение на ρ
Обобщенный МНК

Слайд 33

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Слайд 34

Случай 1. Значение ρ известно
Домножим второе уравнение на ρ
Обобщенный МНК

Слайд 35

Случай 1. Значение ρ известно
Вычтем из первого уравнения второе
Обобщенный МНК

Слайд 36

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Слайд 37

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Слайд 38

Случай 1. Значение ρ известно
Сделаем замену переменных:
Обобщенный МНК

Слайд 39

Случай 1. Значение ρ известно
В новой модели нет автокорреляции
Обобщенный МНК

Слайд 40

Случай 2. Значение ρ неизвестно
Обобщенный МНК

Слайд 41

Случай 2. Значение ρ неизвестно
Оцениваем исходную регрессию обычным МНК. Получаем ряд

остатков.
Оцениваем регрессию для остатков:
⟹
3. Далее действуем в соответствии со случаем 1, используя .

Обобщенный МНК

Слайд 42

Два важных замечания:
Замечание 1. Описанный выше алгоритм можно последовательно применить несколько

раз: заново оценить остатки, заново оценить , заново сделать замену переменных и так далее.
Итерации повторяются до тех пор, пока не достигается сходимость (оценки коэффициентов при переменных и оценка перестают изменяться).
Такая процедура называется процедурой Кохрейна-Оркатта.

Обобщенный МНК

Слайд 43

Два важных замечания:
Замечание 2. Вернемся к уравнению
Перепишем его следующим образом:
Мы получили

модель ADL. Вместо описанной выше процедуры можно оценивать непосредственно ее. И в ней также нет проблемы автокорреляции остатков. ⟹ Еще один способ устранить автокорреляцию – использовать ADL модели.

Обобщенный МНК

Слайд 44

Тестирование автокорреляции
Как выяснить, есть ли в модели автокорреляция?
Анализ графиков остатков.
Коррелограмма остатков

и тест Льюинга-Бокса для ряда остатков.
- Если в модели нет автокорреляции, то остатки должны вести себя как белый шум.
3. Тест Дарбина-Уотсона.

Слайд 45

Тест Дарбина-Уотсона
Расчетное значение тестовой статистики:
Два критических значения:

Слайд 46

⟹ ρ > 0
⟹ ρ = 0
⟹ ρ <

0
В остальных случаях нельзя сделать вывод.

Тест Дарбина-Уотсона

Многомерные модели временных рядов

Содержание

План лекцииМодели стационарных временных рядов:Модель распределенных лагов;Авторегрессионная модель распределенных лагов;Автокорреляция.

Многомерные модели временных рядовРанее мы рассматривали модели для единственного временного ряда.Теперь

Примеры вопросов о динамических причинно-следственных связяхКак увеличение налога на сигареты скажется

В рамках этой лекции мы предполагаем, что выполняется предпосылка о стационарности

The Distributed-Lag ModelПредпосылки:Регрессоры экзогенны:Нет совершенной мультиколлинеарностиВременные ряды и стационарныВременные ряды и

The Distributed-Lag ModelОценивание:При выполнении предпосылок 1- 4 МНК дает состоятельные оценки

Интерпретация: - мгновенный эффект: мгновенное влияние на - динамический мультипликатор

- мгновенный эффект: увеличение расходов на рекламу на единицу увеличивает объем

- долгосрочный динамический мультипликатор: увеличение расходов на рекламу на единицу

Заморозки во Флориде и цены на апельсиныВо Флориде производится значительная часть

Авторегрессионная модель распределенных лаговЕстественное обобщение предыдущей модели – ADL(p,q)The Autoregressive Distributed-Lag

Эмпирическая кривая Филлипса (с адаптивными ожижданиями)Пример модели ADL(4,4) на основе данных

Авторегрессионная модель распределенных лаговADL(p,q)В качестве предпосылок по-прежнему требуется стационарность рядов x,

ADL(p,q)Аналогично можно рассматривать случай большего числа объясняющих переменных … Но

ADL(p,q)Порядок лагов снова можно определять, используя критерии Акаике и Шварца.Авторегрессионная модель

Динамические мультипликаторы в ADL моделиМгновенный эффектНакопленные динамические мультипликаторы: Для одного периода

Тест Грейнджера на причинно-следственную связьGranger Causality TestГипотеза «х не влияет на у»:

Если гипотеза «х не влияет на у» отклоняется и гипотеза «у

Значимость коэффициентов и доверительные интервалыЕсли - белый шум, то можно использовать

АвтокорреляцияПлан рассказа об автокорреляции:Что такое автокорреляция?Чем она плоха?Что можно сделать в

Автокорреляция случайных ошибок – такое же типичное явление для временных рядов,

Что делать в условиях автокорреляции?Робастные стандартные ошибкиОбобщенный МНК

Робастные стандартные ошибкиКак было сказано выше, оценки коэффициентов не смещены (хоть

Робастная к автокорреляции и гетероскедастичности стандартная ошибка коэффициента при переменной (HAC

Робастные стандартные ошибкиm – truncation parameter, определяется размером выборки: (с округлением

Обобщенный МНКПроиллюстрируем применение обобщенного МНК на примере автокорреляции первого порядка

Случай 1. Значение ρ известноОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноДомножим второе уравнение на ρОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноДомножим второе уравнение на ρОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноВычтем из первого уравнения второеОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноОбобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноСделаем замену переменных:Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известноВ новой модели нет автокорреляцииОбобщенный МНК

Случай 2. Значение ρ неизвестноОбобщенный МНК

Случай 2. Значение ρ неизвестноОцениваем исходную регрессию обычным МНК. Получаем ряд

Два важных замечания:Замечание 1. Описанный выше алгоритм можно последовательно применить несколько

Два важных замечания:Замечание 2. Вернемся к уравнениюПерепишем его следующим образом:Мы получили

Тестирование автокорреляцииКак выяснить, есть ли в модели автокорреляция?Анализ графиков остатков.Коррелограмма остатков

Тест Дарбина-УотсонаРасчетное значение тестовой статистики:Два критических значения:

⟹ ρ > 0 ⟹ ρ = 0 ⟹ ρ <

Похожие презентации

План лекции
Модели стационарных временных рядов:
Модель распределенных лагов;
Авторегрессионная модель распределенных лагов;
Автокорреляция.

Многомерные модели временных рядов
Ранее мы рассматривали модели для единственного временного ряда.
Теперь

Примеры вопросов о динамических причинно-следственных связях
Как увеличение налога на сигареты скажется

The Distributed-Lag Model
Предпосылки:
Регрессоры экзогенны:
Нет совершенной мультиколлинеарности
Временные ряды и стационарны
Временные ряды и

The Distributed-Lag Model
Оценивание:
При выполнении предпосылок 1- 4 МНК дает состоятельные оценки

Интерпретация:
- мгновенный эффект: мгновенное влияние на
- динамический мультипликатор

Заморозки во Флориде и цены на апельсины
Во Флориде производится значительная часть

Авторегрессионная модель распределенных лагов
Естественное обобщение предыдущей модели – ADL(p,q)
The Autoregressive Distributed-Lag

Эмпирическая кривая Филлипса (с адаптивными ожижданиями)
Пример модели ADL(4,4) на основе данных

Авторегрессионная модель распределенных лагов
ADL(p,q)
В качестве предпосылок по-прежнему требуется стационарность рядов x,

ADL(p,q)
Аналогично можно рассматривать случай большего числа объясняющих переменных
… Но

ADL(p,q)
Порядок лагов снова можно определять, используя критерии Акаике и Шварца.
Авторегрессионная модель

Динамические мультипликаторы в ADL модели
Мгновенный эффект
Накопленные динамические мультипликаторы:
Для одного периода

Тест Грейнджера на причинно-следственную связь
Granger Causality Test
Гипотеза «х не влияет на у»:

Значимость коэффициентов и доверительные интервалы
Если - белый шум, то можно использовать

Автокорреляция
План рассказа об автокорреляции:
Что такое автокорреляция?
Чем она плоха?
Что можно сделать в

Что делать в условиях автокорреляции?
Робастные стандартные ошибки
Обобщенный МНК

Робастные стандартные ошибки
Как было сказано выше, оценки коэффициентов не смещены (хоть

Робастные стандартные ошибки
m – truncation parameter, определяется размером выборки:
(с округлением

Обобщенный МНК
Проиллюстрируем применение обобщенного МНК на примере автокорреляции первого порядка

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Домножим второе уравнение на ρ
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Домножим второе уравнение на ρ
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Вычтем из первого уравнения второе
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
Сделаем замену переменных:
Обобщенный МНК

Случай 1. Значение ρ известно
В новой модели нет автокорреляции
Обобщенный МНК

Случай 2. Значение ρ неизвестно
Обобщенный МНК

Случай 2. Значение ρ неизвестно
Оцениваем исходную регрессию обычным МНК. Получаем ряд

Два важных замечания:
Замечание 1. Описанный выше алгоритм можно последовательно применить несколько

Два важных замечания:
Замечание 2. Вернемся к уравнению
Перепишем его следующим образом:
Мы получили

Тестирование автокорреляции
Как выяснить, есть ли в модели автокорреляция?
Анализ графиков остатков.
Коррелограмма остатков

Тест Дарбина-Уотсона
Расчетное значение тестовой статистики:
Два критических значения:

⟹ ρ > 0
⟹ ρ = 0
⟹ ρ <