Моделирование геосистем. Типология и классификация моделей. (Лекция 5.2)

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Моделирование геосистем. Типология и классификация моделей. (Лекция 5.2)

Содержание

2. ТИПОЛОГИЯ и КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ЧАСТЬ 2
3. Математические модели: 1). Определение и принципиальная форма выражения математической модели; 2). Типы математических моделей
4. Математической моделью системы-оригинала Y0 = (V0, X0, ∑0, F0) называется модель Y = (V, X, ∑,
5. Структура таких моделей ∑ = (σ1, ..., σк) представляет собой множество математических соотношений между этими переменными,
6. Функция F = (F1, …, Fn) есть не что иное, как разрешающий оператор совокупности математических соотношений,
7. Например: Система из одной популяции, существующая в условиях изобилия корма и отсутствия врагов
8. Предположим: прирост популяции пропорционален достигнутой численности, удельная скорость прироста r зависит от t (внешний фактор), которая
9. Построение математической модели: Исходные данные: входная функции v(t), задающая динамику температуры окружающей среды при t0 ≤
10. Построение математической модели: Структура модели ∑ три математических соотношения: dx/dt = r (t) ∙ x r
11. Типы математических моделей:
12. Аналитические модели: Если для оператора F найдено точное аналитическое выражение, позволяющее для любых входных функций и
13. Аналитические модели: обладают многими благоприятными свойствами, облегчающими их исследование и применение; но в подавляющем большинстве случаев
14. Численные модели: Если совокупность уравнений и неравенств, отображающих структуру модели, непротиворечива и полна, то нередко удается
15. Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Критерии определения В зависимости от степени определенности предсказания траектории (x1(t), ...,
16. Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Принципиальные различия: В детерминированной модели значения переменных состояния определяются однозначно (с
17. Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Графические формы: Детерминированная
18. Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Графические формы: Стохастическая
19. Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Резюме: 1) предсказывает для любого момента времени t единственное значение переменной
20. Дискретные и непрерывные модели: Критерии определения: характер временного описания динамики переменных состояния хi(t) 1) - поведение
21. Дискретные и непрерывные модели: Примеры: Дискретная модель
22. Дискретные и непрерывные модели: Примеры: Непрерывная модель
23. Дискретные динамические модели: Вид: Модели с фиксированным шагом во времени ∆t = ti – ti-1, который
24. Дискретные динамические модели: Вид: шаг по времени ∆t = может неограниченно уменьшаться (в пределах возможностей используемой
25. Точечные и пространственные модели: 1) - пространственное строение экосистемы не рассматривается, т.е. в качестве переменных состояния
26. Точечные модели: 1). При моделировании водной экосистемы в качестве переменных состояния можно использовать усредненные по площади
27. Точечные модели: Схема размещения точек опробывания озер в составе комплексных экологических изысканий в районе размещения памятника
28. Пространственные модели: Если в модели учитывается гетерогенность по глубине (координата z), т.е. xi = xi (z,
29. Пространственные модели: При описании мелкого, хорошо перемешиваемого по вертикали, но гетерогенного по плоскости водоема (например, в
30. О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: различные графики и схемы для визуализации; способ развертки
31. О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: Развертка во времени
32. О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: 1). При большом числе переменных в дополнение к
33. О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: Фазовый портрет
34. О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: Соотношение развертки во времени и фазового портрета
35. Классификация моделей по масштабности научных взглядов и проблем: локальные модели, освещающие действительность с какой-либо узкой («местной»)
36. Парадигма: (от греческого paradeigma) – пример, образец: 1) строго научная теория, воплощенная в системе понятий, выражающих
38. Скачать презентацию

Слайд 2

ТИПОЛОГИЯ и КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
ЧАСТЬ 2

Слайд 3

Математические модели: 1). Определение и принципиальная форма выражения математической модели; 2). Типы математических

моделей

Слайд 4

Математической моделью системы-оригинала
Y0 = (V0, X0, ∑0, F0)
называется модель
Y =

(V, X, ∑, F),
у которой в качестве элементов множеств V и Х выступают математические переменные. Обычно это скалярные функции времени (t) на рассматриваемом интервале:
t0 ≤ t ≤ tn :
v1(t), …, vk (t), x1(t), …, xn(t).

Слайд 5

Структура таких моделей ∑ = (σ1, ..., σк) представляет собой множество

математических соотношений между этими переменными, которые обычно формулируются в виде уравнений и неравенств вида
σ1 (v1, …, vk, x1, …, xn) = 0
…………………………….
σm (v1, …, vk, x1, …, xn) = 0
σm+1 (v1, …, vk, x1, …, xn) ≤ 0
…………………………….
σr (v1, …, vk, x1, …, xn) ≤ 0,
связывающих между собой внешние и внутренние переменные модели.

Слайд 6

Функция F = (F1, …, Fn) есть не что иное, как

разрешающий оператор совокупности математических соотношений, позволяющих по заданным входам

v1(t), …, vk (t); t0 ≤ t ≤ tn
с той или иной определенностью (от абсолютной детерминированности до размытого вероятностного описания) находить функции x1(t), …, xn(t) на интервале t0 ≤ t ≤ tn:
x1(t) = F1 (v1, …, vk, x01, …, x0n, t)
……………………………………
xn(t) = Fn (v1, …, vk, x01, …, x0n, t),
которые удовлетворяют приведенным выше уравнениям и неравенствам и заданным начальным условиям
x1(t0) = x01, …, x0n (t0) = x0n.

Слайд 7

Например:
Система из одной популяции, существующая в условиях изобилия корма и

отсутствия врагов

Слайд 8

Предположим:
прирост популяции пропорционален достигнутой численности,
удельная скорость прироста r

зависит от t (внешний фактор), которая на рассматриваемом промежутке времени известна

Слайд 9

Построение математической модели: Исходные данные:
входная функции v(t), задающая динамику температуры

окружающей среды при t0 ≤ t ≤ tn,
множество X, состоящее из одного элемента – действительной переменной x(t), обозначающей численность популяции в момент времени t.

Слайд 10

Построение математической модели: Структура модели ∑
три математических соотношения:
dx/dt = r

(t) ∙ x
r (t) = Ө (v (t))
x (t0) = x0.
выражает линейную зависимость скорости роста популяции от ее численности с меняющимся во времени коэффициентом удельного прироста r(t).
служит математическим выражением зависимости r от температуры окружающей среды v: функция Ө (v) (температура ОС) известна.
задает начальную численность популяции при t = t0.

Слайд 11

Типы математических моделей:

Слайд 12

Аналитические модели:
Если для оператора F найдено точное аналитическое выражение,

позволяющее для любых входных функций и начальных условий непосредственно определять значение переменных состояний x1, ..., хn в любой нужный момент t, то модель называют аналитической.

В зависимости от свойств разрешающего оператора F

Слайд 13

Аналитические модели:
обладают многими благоприятными свойствами, облегчающими их исследование и

применение;
но в подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического выражения для разрешающего оператора F оказывается затруднительным или в принципе невозможным.

Слайд 14

Численные модели:
Если совокупность уравнений и неравенств, отображающих структуру модели, непротиворечива

и полна, то нередко удается найти алгоритм (процедуру) численного решения этих уравнений с использованием электронно-вычислительной техники.
В результате реализация оператора F происходит в виде машинной программы, с помощью которой по входным и начальным данным рассчитываются значения переменных состояний x (t), …, xn (t) на интервале t0 ≤ t ≤ tn.
Численные или имитационные модели.

Слайд 15

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Критерии определения
В зависимости от степени определенности

предсказания траектории (x1(t), ..., xn(t)) оператором F или от того, с какой степенью вероятности математические модели прогнозируют изучаемые процессы

Слайд 16

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Принципиальные различия:
В детерминированной модели значения переменных

состояния определяются однозначно (с точностью до ошибок вычисления).
Стохастическая модель для каждой переменной xn дает распределение возможных значений, характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое ожидание M{xi}, среднее квадратическое отклонение σ{x} и т.п.

Слайд 17

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Графические формы: Детерминированная

Слайд 18

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Графические формы: Стохастическая

Слайд 19

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Резюме:
1) предсказывает для любого момента времени

t единственное значение переменной xi(t).
2) показывает интервал [xi(t), Xi(t)], содержащий величину xi(t) и ее распределение на этом интервале.

Слайд 20

Дискретные и непрерывные модели: Критерии определения: характер временного описания динамики переменных состояния

хi(t)

1) - поведение системы описывается на фиксированной последовательности моментов времени t0 < t1 < ... < ti < ... < tn или в определенных точках пространства;
2) - значения переменных можно рассчитать для любой точки пространственного или временного интервала.

Слайд 21

Дискретные и непрерывные модели: Примеры: Дискретная модель

Слайд 22

Дискретные и непрерывные модели: Примеры: Непрерывная модель

Слайд 23

Дискретные динамические модели: Вид: Модели с фиксированным шагом во времени ∆t

= ti – ti-1, который не может быть изменен без глубокой перестройки всей модели. Например, в моделях динамики популяции организмов с непрерывающимися поколениями, сменяющимися только один раз в год, принимается ∆t = 1 год

Слайд 24

Дискретные динамические модели: Вид: шаг по времени ∆t = может неограниченно

уменьшаться (в пределах возможностей используемой ЭВМ или программного обеспечения) = По детальности описания временных изменений приближаются к непрерывным: модели, получающиеся в результате дискретизации непрерывного описания изучаемой системы в процессе приближенного численного решения дифференциальных уравнений

Слайд 25

Точечные и пространственные модели:
1) - пространственное строение экосистемы не рассматривается,

т.е. в качестве переменных состояния фигурируют какие-либо переменные, в том числе зависящие от времени (xi(t), i = l, ..., n) = модели с сосредоточенными значениями или точечные моделями. В первом случае это статические точечные модели, во втором – динамические.
2) - переменные состояния хi зависят от пространственных координат (одной или нескольких), в том числе и с учетом фактора времени, называются моделями с распределенными значениями или пространственными моделями

В зависимости от характера описания пространственного строения

Слайд 26

Точечные модели:
1). При моделировании водной экосистемы в качестве переменных состояния

можно использовать усредненные по площади и суммированные по глубине значения:
биомасс популяций,
запасов биогенных элементов и т.д.
2) Каждая в отдельности лимносистема может рассматриваться как одна точка при изучении озер в каких-либо специальных научных программах или при выполнении комплексных экологических изысканий.

Пример условия статической точечной модели:

Слайд 27

Точечные модели:
Схема размещения точек опробывания озер в составе комплексных экологических

изысканий в районе размещения памятника природы «Озеро Мундштучное»

Пример графического вида статической точечной модели:

Слайд 28

Пространственные модели:
Если в модели учитывается гетерогенность по глубине (координата z),

т.е. xi = xi (z, t), то получается более детальная динамическая модель с распределенными значениями по глубине, которые также могут быть осредненными по плоскости (x, у).
Примером статической пространственной модели, значения переменных состояния в которой выведены на плоскость, является рельеф дна или распределение глубин в границах акватории любого исследуемого водоема.

Пример условия статической пространственной модели:

Слайд 29

Пространственные модели:
При описании мелкого, хорошо перемешиваемого по вертикали, но гетерогенного

по плоскости водоема (например, в случае разного механического состава донных отложений) в качестве переменных состояния можно использовать функции вида хi = хi (x, у, t). Наконец, вводя все три пространственные координаты хi = хi (x, у, z, t), можно получить трехмерную динамическую модель с пространственно распределенными значениями.

Пример графического вида статической пространственной модели:
Схема акватории озера Мундштучное с изобатами, м

Слайд 30

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели:
различные графики

и схемы для визуализации;
способ развертки во времени = реализуется путем построения таблиц или графиков изменения входных переменных и переменных состояния как функций времени t

Слайд 31

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели:
Развертка во времени

Слайд 32

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели:
1). При

большом числе переменных в дополнение к способу развертки во времени используется способ фазовых портретов.
2). В этом случае на график наносится изображение траектории системы в пространстве состояний (при n=2 или 3) или проекции этой траектории на координатные плоскости (xi, xj), образованные различными парами координат при n > 3.
3). Время на фазовом портрете присутствует неявно, через указание тем или иным способом направления движения изображающей точки вдоль траектории, например, с помощью стрелок или отметок времени вдоль траектории.

Слайд 33

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели:
Фазовый портрет

Слайд 34

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели:
Соотношение развертки во

времени и фазового портрета

Слайд 35

Классификация моделей по масштабности научных взглядов и проблем:
локальные модели, освещающие

действительность с какой-либо узкой («местной») точки зрения,
парадигмы – модели общего значения, представляющие ценность для широкого круга ученых

Слайд 36

Парадигма: (от греческого paradeigma) – пример, образец:
1) строго научная теория, воплощенная в

системе понятий, выражающих существенные черты действительности;
2) исходная концептуальная схема, модель постановки проблем и их решения, методов исследования, господствующих в течение определенного исторического периода в науке.

Моделирование геосистем. Типология и классификация моделей. (Лекция 5.2)

Содержание

ТИПОЛОГИЯ и КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙЧАСТЬ 2

Математические модели: 1). Определение и принципиальная форма выражения математической модели; 2). Типы математических

Математической моделью системы-оригинала Y0 = (V0, X0, ∑0, F0)называется модельY =

Структура таких моделей ∑ = (σ1, ..., σк) представляет собой множество

Функция F = (F1, …, Fn) есть не что иное, как

Например: Система из одной популяции, существующая в условиях изобилия корма и

Предположим: прирост популяции пропорционален достигнутой численности, удельная скорость прироста r

Построение математической модели: Исходные данные: входная функции v(t), задающая динамику температуры

Построение математической модели: Структура модели ∑ три математических соотношения:dx/dt = r

Типы математических моделей:

Аналитические модели: Если для оператора F найдено точное аналитическое выражение,

Аналитические модели: обладают многими благоприятными свойствами, облегчающими их исследование и

Численные модели: Если совокупность уравнений и неравенств, отображающих структуру модели, непротиворечива

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Критерии определенияВ зависимости от степени определенности

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Принципиальные различия:В детерминированной модели значения переменных

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Графические формы: Детерминированная

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Графические формы: Стохастическая

Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели: Резюме:1) предсказывает для любого момента времени

Дискретные и непрерывные модели: Критерии определения: характер временного описания динамики переменных состояния

Дискретные и непрерывные модели: Примеры: Дискретная модель

Дискретные и непрерывные модели: Примеры: Непрерывная модель

Дискретные динамические модели: Вид: Модели с фиксированным шагом во времени ∆t

Дискретные динамические модели: Вид: шаг по времени ∆t = может неограниченно

Точечные и пространственные модели: 1) - пространственное строение экосистемы не рассматривается,

Точечные модели: 1). При моделировании водной экосистемы в качестве переменных состояния

Точечные модели: Схема размещения точек опробывания озер в составе комплексных экологических

Пространственные модели: Если в модели учитывается гетерогенность по глубине (координата z),

Пространственные модели: При описании мелкого, хорошо перемешиваемого по вертикали, но гетерогенного

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: различные графики

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: Развертка во времени

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: 1). При

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: Фазовый портрет

О способах визуального представления результатов моделирования. Динамические модели: Соотношение развертки во

Классификация моделей по масштабности научных взглядов и проблем: локальные модели, освещающие

Парадигма: (от греческого paradeigma) – пример, образец:1) строго научная теория, воплощенная в

Похожие презентации