Моделирование нелинейных звеньев. Лекция №11

Август 23, 2022

Главная
Математика
Моделирование нелинейных звеньев. Лекция №11

Содержание

2. Литература Монаков А.А. Основы математического моделирования радиотехнических систем. Учебное пособие. – СПб.: ГУАП, 2005. – 100с.
3. Литература Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 768 с.: ил.
4. Нелинейные звенья В общем случае описываются нелинейными дифференциальными уравнениями Но есть частные случаи, для которых задача
5. Нелинейные звенья Таблица − Типовые звенья радиоавтоматики
6. Нелинейные звенья Таблица − Типовые звенья радиоавтоматики (продолжение)
7. Безынерционные звенья Дано звено Производит нелинейное преобразование входного сигнала В общем случае вида: Моделирование сводится к:
8. Множество Мандельброта – множество точек с на комплексной плоскости, для которых последовательность сходится |zn| Фрактал —
9. Множество Мандельброта clear all; clc; close all pxls=3000; N=50; z = zeros(pxls,pxls); c=… repmat(linspace(-1.5,0.5,pxls),pxls,1) ... +
10. fsolve() Часто возникает задача поиска корня системы нелинейных уравнений main.m X0 = [0.5; 1]; optnew =
11. fminsearch() Схожая задача – поиск минимума/максимума функции main.m X0 = [0.5; 1]; optnew = optimset('TolFun', 1e-20);
12. Замкнутые звенья Замкнутое инерционное нелинейное звено – система с ОС с неинерционным нелинейным звеном – выход
13. Замкнутые звенья Получаем: Lifehack* нелинейное уравнение, возможно трансцендентное известное к моменту n число * «хитрости жизни»,
14. Метод Эйлера В общем случае требуется решение системы нелинейных дифференциальных уравнений Есть множество методов решения дифуров.
15. Расширенный метод Эйлера Расширенный метод Эйлера Идея – выбрать наклон как среднее между наклоном на прошлом
16. Метод Рунге-Кутта Метод Рунге-Кутта 4 порядка Ошибка пропорциональна Пример: После замены переменных: main.m: T = 0.1;
17. Решатели • ode45 – одношаговые явные методы Рунге Кутта 4 го и 5 го порядков. Использовать
18. Аттрактор Лоренца Описывается системой уравнений: clear all; clc; close all % Начальные условия Y0 = [10;10;10];
19. Аттрактор Лоренца
20. Аттрактор Лоренца Изменим на 1% начальные условия: Y0 = [10;10;10] * (1+1/100);
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Литература
Монаков А.А. Основы математического моделирования радиотехнических систем. Учебное пособие. – СПб.:

ГУАП, 2005. – 100с.

Глава 2, раздел 2.2. Моделирование нелинейных систем

Слайд 3

Литература
Дьяконов В. П.
MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. –

768 с.: ил.

Урок 8. Программные средства численных методов

Слайд 4

Нелинейные звенья
В общем случае
описываются
нелинейными
дифференциальными
уравнениями

Но есть частные случаи, для которых задача упрощается:
безынерционные звенья (исчезают производные)
инерционные замкнутые (работает курс Радиоавтоматики)

Слайд 5

Нелинейные звенья
Таблица − Типовые звенья радиоавтоматики

Слайд 6

Нелинейные звенья
Таблица − Типовые звенья радиоавтоматики (продолжение)

Слайд 7

Безынерционные звенья
Дано звено
Производит нелинейное
преобразование
входного сигнала
В общем случае

вида:

Моделирование сводится к:
1) формирование оси времени

T = 1e-3; tmin = 0; tmax = 100*T;
t = tmin:T:tmax;
A = 10; f0 = 1e2;
x = A * sin( 2*pi * f0 * t );
nV = 0.3; Is = 10;
y = Is * (exp(y/nV) - 1);

2) формирование отсчетов
входного сигнала

3) функциональное преобра-
зование каждого отсчета

Нелинейные преобразования отсчетов производятся с помощью
встроенных или библиотечных функций

Слайд 8

Множество Мандельброта
– множество точек с на комплексной плоскости, для которых последовательность
сходится
|zn|
Фрактал

— множество, обладающее свойством самоподобия. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.
Расширенное определение:

Слайд 9

Множество Мандельброта
clear all; clc; close all
pxls=3000; N=50;
z = zeros(pxls,pxls);
c=…
repmat(linspace(-1.5,0.5,pxls),pxls,1) ...
+ 1i*

repmat(linspace(-1,1,pxls)',1,pxls);
for j=1:N
z = z.^2 + c;
end
thresh = 5;
ind = find(real(z) > thresh);
z(ind) = thresh + 1i*imag(z(ind));
ind = find(real(z) < -thresh);
z(ind) = -thresh + 1i*imag(z(ind));
ind = find(imag(z) > thresh);
z(ind) = real(z(ind)) + thresh*1i;
ind = find(imag(z) < -thresh);
z(ind) = real(z(ind)) - thresh*1i;
colormap(hot);
imagesc(log( abs(z) + 1 )); axis equal

zeros(m, n)
repmat(A,M,N)
find(условие)
real(Z)
imag(Z)
colormap(‘default’)
imagesc(A)
axis equal

Слайд 10

fsolve()
Часто возникает задача поиска корня системы нелинейных уравнений
main.m
X0 = [0.5; 1];
optnew

= optimset('TolFun', 1e-20);
X = fsolve(@F, X0, optnew)
F.m
function f = F( X )
f = sinc(sqrt(X(1)^2 + X(2)^2)) - 1;
end

X = 1.0e-08 * -0.0095
-0.6332

Результат:

Слайд 11

fminsearch()
Схожая задача – поиск минимума/максимума функции
main.m
X0 = [0.5; 1];
optnew = optimset('TolFun',

1e-20);
X = fminsearch(@F, X0, optnew)
F.m
function f = F( X )
f = -sinc(sqrt(X(1)^2 + X(2)^2));
end

X = 1.0e-07 * -0.1338
-0.0701

Результат:

Слайд 12

Замкнутые звенья
Замкнутое инерционное нелинейное звено – система с ОС с

неинерционным нелинейным звеном

– выход «дискриминатора»

– фильтр

Слайд 13

Замкнутые звенья
Получаем:
Lifehack*
нелинейное уравнение,
возможно трансцендентное
известное к моменту n число
*

«хитрости жизни», «народная мудрость» или полезный совет

Слайд 14

Метод Эйлера
В общем случае требуется решение системы
нелинейных дифференциальных уравнений
Есть

множество методов решения дифуров. Особую роль играют методы конечных разностей, основанные на замене производных разностными схемами.

Метод Эйлера

Идея – заменить производную
по времени на конечную разность

Ошибка пропорциональна

y = y0;
for t = tmin:T:tmax;
y = y + T*F(t,y);
...
end

Слайд 15

Расширенный метод Эйлера
Расширенный метод Эйлера
Идея – выбрать наклон как среднее между

наклоном на прошлом шаге и наклоном по простому
методу Эйлера

Ошибка пропорциональна

y = y0;
for t = tmin:T:tmax;
yt = y + T*F(t,y);
y = y + T/2*(F(t,y) + F(t, yt));
...
end

Слайд 16

Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Ошибка пропорциональна
Пример:
После замены
переменных:
main.m:
T = 0.1; tmin

= 0; tmax = 3;
Y0 = [0.8 2]; % Начальные условия
[t, Y] = ode45('diffs', tmin:T:tmax, Y0);
plot(t, Y); grid on
legend('Y_1 = y', 'Y_2 = dy/dt');

diffs.m:
function dY = diffs( t, Y )
dY = Y(:);
dY(1) = Y(2);
dY(2) = cos(3*t) - 4*Y(1);
end

Слайд 17

Решатели
• ode45 – одношаговые явные методы Рунге Кутта 4 го и

5 го порядков. Использовать в первую очередь. Дает хорошие результаты, если система нежесткая.
• ode23 – одношаговые явные методы Рунге Кутта 2 го и 4 го порядков. Может дать выигрыш в скорости решения.
• ode113 – многошаговый метод Адамса–Башворта–Мултона переменного порядка класса предиктор–корректор. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения.
• ode15s – многошаговый метод переменного порядка. Применять, если ode45 не справилась.
• ode23s – одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2 го порядка. Высокая скорость, низкая точность, жесткая система
• ode23t – неявный метод трапеций с интерполяцией. Для колебательных систем.
• ode23tb – неявный метод Рунге–Кутта, альтернатива ode15s.
• bvp4c – для уравнений вида y’ = f(t,y), F(y(a), y(b),p) = 0 (полная форма системы уравнений Коши). Для задания граничных условий как в начале, так и в конце интервала решения.
• pdepe – служит для решения систем параболических и эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.

Слайд 18

Аттрактор Лоренца
Описывается
системой уравнений:
clear all; clc; close all
% Начальные условия
Y0

= [10;10;10];
T = 0.01;
tmin = 0; tmax = 20;
% Решение методом Рунге-Кутта 4-5 пор.
[t, Y] = ode45(@loren, tmin:T:tmax, Y0);
figure(1)
subplot(2,2,1); plot(t, Y(:,1)); title('y_1(t)');
subplot(2,2,2); plot(t, Y(:,2)); title('y_2(t)');
subplot(2,2,3); plot(t, Y(:,3)); title('y_3(t)');
subplot(2,2,4); plot(Y(:,1),Y(:,2));
xlabel('y_1(t)'); ylabel('y2_(t)');
figure(2)
plot3(Y(:,1), Y(:,2), Y(:,3), '.');
grid on; xlabel('y_2')
ylabel('y_1'); zlabel('y_3');

function F = loren(t, y)
r = 28;
sigma = 10;
b = 8/3;
F = [sigma*(y(2)-y(1));
r*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);
y(1)*y(2)-b*y(3)];

Слайд 19

Аттрактор Лоренца

Слайд 20

Моделирование нелинейных звеньев. Лекция №11

Содержание

ЛитератураМонаков А.А. Основы математического моделирования радиотехнических систем. Учебное пособие. – СПб.:

ЛитератураДьяконов В. П.MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. –

Нелинейные звеньяВ общем случае описываются нелинейными дифференциальными уравнениями

Нелинейные звеньяТаблица − Типовые звенья радиоавтоматики

Нелинейные звеньяТаблица − Типовые звенья радиоавтоматики (продолжение)

Безынерционные звеньяДано звеноПроизводит нелинейное преобразование входного сигналаВ общем случае

Множество Мандельброта– множество точек с на комплексной плоскости, для которых последовательностьсходится|zn|Фрактал

Множество Мандельбротаclear all; clc; close allpxls=3000; N=50;z = zeros(pxls,pxls);c=…repmat(linspace(-1.5,0.5,pxls),pxls,1) ...+ 1i*

fsolve()Часто возникает задача поиска корня системы нелинейных уравненийmain.mX0 = [0.5; 1];optnew

fminsearch()Схожая задача – поиск минимума/максимума функцииmain.mX0 = [0.5; 1];optnew = optimset('TolFun',

Замкнутые звеньяЗамкнутое инерционное нелинейное звено – система с ОС с

Замкнутые звеньяПолучаем: Lifehack* нелинейное уравнение, возможно трансцендентноеизвестное к моменту n число*

Метод ЭйлераВ общем случае требуется решение системы нелинейных дифференциальных уравненийЕсть

Расширенный метод ЭйлераРасширенный метод ЭйлераИдея – выбрать наклон как среднее между

Метод Рунге-КуттаМетод Рунге-Кутта 4 порядкаОшибка пропорциональнаПример:После замены переменных:main.m:T = 0.1; tmin

Решатели• ode45 – одношаговые явные методы Рунге Кутта 4 го и

Аттрактор ЛоренцаОписывается системой уравнений:clear all; clc; close all% Начальные условияY0