Наложения и движения

предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф1, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф2 = Ф1 (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф2 отображается в фигуру Ф1. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.
Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А1 и В1. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А1В1 (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А1В1. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А1В1С1. По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А1, В1 и С1.
Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М, а при наложении ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А1М1, AM = А1М2, поэтому A1M1 = А1М2, т. е. точка А1 равноудалена от точек М1 и М2 (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В1 и С1 равноудалены от точек М1 и М2. Отсюда следует, что точки А1, В1 и С1 лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М1М2. Но это невозможно, так как вершины треугольника А1В1С1 не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. 

Следствие: При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру