Неравенства с одной переменной

Июль 23, 2022

Главная
Математика
Неравенства с одной переменной

Содержание

2. Неравенства с одной переменной Пусть f(х) и g(х) – два выражения с переменной х и областью
3. Решением неравенства называется каждое значение переменной х ∈ Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое
4. С точки зрения математической логики: Неравенством с одной переменной называется одноместный предикат f(х) > g(х), (f(х)
5. Равносильные неравенства Если множество решений неравенства (1) является подмножеством множества решений неравенства (2), то есть Т1
6. Другими словами, если каждое решение неравенства (1) удовлетворяет неравенству (2), то неравенство (2) называется следствием неравенства
7. Другими словами, два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны. Два неравенства равносильны в том
8. Теорема 1. Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х), х∈Х (1) прибавить выражение t(х), имеющее
9. Доказательство 1) Пусть х = а – решение неравенства (1), то есть f(а) > g(а) –
10. 2) Пусть х = а – решение неравенства (2), то есть f(а) + t(а) > g(а)
11. Итак, уравнения (1) и (2) являются следствиями друг друга, а, значит, они равносильны. Аналогично доказывается равносильность
12. 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получим неравенство, равносильное
13. Теорема 2. Если выражение t(х) определено при всех значениях х ∈Х и положительно на Х, то
14. Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то
15. Теорема 3. Если выражение t(х) определено при всех значениях х ∈Х и отрицательно на Х, то
16. Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число и
17. Линейные неравенства с одной переменной Неравенство вида ах > b (ах называется линейным неравенством с одной
18. Если а > 0, то х > . Т = ] ; + ∞[. Если а
19. Примеры: 1) 2(х - 3) + 5(1 - х) ≥ 3(2х - 5) 2х – 6
20. 2) 24 – 20х 24 – 20х - 25х х > 0,8 Ответ: Т = ]
21. 3) (2х – 3)2 – 8х 4х2 – 12х + 9 – 8х 4х2 – 20х
22. 4) (х + 2)3 – 3х3 х3 + 6х2 + 12х + 8 – 3х3 -
23. Рассмотрим неравенство (х – а1)(х – а2)·…·(х – аn) > 0, где а1 Метод интервалов
24. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки ]-∞; а1[, ]а1; а2[,…,]аn; +∞[. На каждом из этих
25. Пример: (х + 6)(х – 1)(х – 3)(х – 5) Ответ: ]- 6; 1[ ∪ ]3;
26. (*) Решение 1) Отмечают на числовой прямой все нули и точки разрыва функции f(х), содержащейся в
27. 2) Определяют знак функции f(х) на каждом из промежутков. Замечания: а) Если с – наибольшее из
28. 3) Выбирают промежутки числовой оси в соответствии со знаком неравенства (*). Объединение отобранных промежутков представляет собой
29. Если х ≠ 6, то Ответ: [3; 6[ ∪ ]6; 7[.
30. 2) Ответ: [-6; 0[ ∪ ]0; 1] ∪ [3; 7[.
31. Графическое решение неравенств
32. Графическое решение неравенств с одной переменной f(х) > g(х) (f(х) построить графики функций у = f(х)
33. Пример: х + 1 Ответ: ]−∞; -2[ ∪ ]0; 1[. у = х + 1, у
34. Квадратное неравенство Неравенство вида ах2 + bх + с > 0 (ах2 + bх + с
35. 1) D = b2 – 4ас > 0 а) а > 0 ах2 + bх +
36. 2) D = b2 – 4ас = 0 а) а > 0 ах2 + bх +
37. 3) D = b2 – 4ас а) а > 0 ах2 + bх + с >
38. Квадратное неравенство можно решить и методом интервалов: - + + 3) Определить знак квадратного трехчлена на
39. Пример: 2х2 – 5х – 3 > 0 1 способ х1 = -1/2, х2 = 3
40. Неравенства с двумя переменными
41. Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая обращает это неравенство в верное числовое
42. Пример: х – 3у (8; 0), (5; 2) - решения данного неравенства. Выбрав значение одной переменной
43. С логической точки зрения: Неравенством с двумя переменными называется двухместный предикат f(х, у) > g(х, у)
44. Рассмотрим неравенство с двумя переменными f(х, у) > g(х, у) (или f(х,у) > 0). Графиком неравенства
45. Примеры: 1) Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х + у – 1 > 0.
46. 2) Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х(х – 2) ≤ у – 3. у
47. Линейное неравенство с двумя переменными Неравенство вида ах + bу > с (ах + bу Множество
48. а) Если а ≠ 0, b ≠ 0, то при b > 0 ⇒ у >
49. б) Если а = 0 ⇒ bу > с ⇒ b > 0 ⇒ у >
50. в) Если b = 0 ⇒ ах > с ⇒ а > 0 ⇒ х >
52. Скачать презентацию

Слайд 2

Неравенства с одной переменной
Пусть f(х) и g(х) – два выражения с

переменной х и областью определения Х.
Тогда неравенство
f(х) > g(х)
(f(х) < g(х), f(х) ≥ g(х), f(х) ≤ g(х))
называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.

Слайд 3

Решением неравенства называется каждое значение переменной х ∈ Х, при котором

неравенство обращается в истинное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество его решений.

Слайд 4

С точки зрения математической логики:
Неравенством с одной переменной называется одноместный предикат

f(х) > g(х),
(f(х) < g(х), f(х) ≥ g(х), f(х) ≤ g(х)), х∈Х.

Решить неравенство – значит, найти множество истинности данного предиката, то есть найти множество значений переменной х, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание.

Слайд 5

Равносильные неравенства
Если множество решений неравенства (1) является подмножеством множества решений неравенства

(2), то есть Т1 ⊂ Т2,
то неравенство (2) называют следствием неравенства (1).

Пусть даны два неравенства:
f1(х) > g1(х), (1)
f2(х) > g2(х). (2)

Слайд 6

Другими словами,
если каждое решение неравенства (1) удовлетворяет неравенству (2), то

неравенство (2) называется следствием неравенства (1).

Пример: х > 4 и х > 2.
]4; + ∞[ ⊂ ]2; + ∞[.
Поэтому х > 4 ⇒ х > 2.

Слайд 7

Другими словами, два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Два неравенства равносильны в том и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

Пример: х2 – 4 < 0 и х2 < 4.
Т1 = Т2 = ]-2; 2[.
Поэтому х2 – 4 < 0 ⇔ х2 < 4.

Слайд 8

Теорема 1. Если к обеим частям неравенства
f(х) > g(х), х∈Х (1)
прибавить

выражение t(х), имеющее значения при всех х ∈Х, то получится новое неравенство
f(х) + t(х) > g(х) + t(х), х∈Х, (2)
равносильное данному.

Теоремы о равносильности неравенств

Слайд 9

Доказательство
1) Пусть х = а – решение неравенства (1), то есть

f(а) > g(а) – истинное числовое неравенство ⇒

f(а) + t(а) > g(а) + t(а) - истинно, то есть х = а – решение неравенства (2).

Таким образом, (1) ⇒ (2) .

f(х) > g(х), х∈Х (1)
f(х) + t(х) > g(х) + t(х), х∈Х, (2)

Слайд 10

2) Пусть х = а – решение неравенства (2), то есть
f(а)

+ t(а) > g(а) + t(а) – истинное числовое неравенство ⇒

Прибавим к обеим частям этого числового неравенства число - t(а), получим f(а) > g(а),
то есть х = а – решение неравенства (1).

Таким образом, (2) ⇒ (1).

f(х) > g(х), х∈Х (1)
f(х) + t(х) > g(х) + t(х), х∈Х, (2)

Слайд 11

Итак, уравнения (1) и (2) являются следствиями друг друга, а, значит,

они равносильны.

Аналогично доказывается равносильность неравенств со знаками <, ≤, ≥ .

Слайд 12

1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же

число, то получим неравенство, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Следствия

Пример: 26 ≤ 2х2 + 48 ⇔ -2х2 ≤ 48 – 26.

Слайд 13

Теорема 2. Если выражение t(х) определено при всех значениях х ∈Х

и положительно на Х, то неравенства
f(х) > g(х) и f(х) · t(х) > g(х) · t (х)
равносильны на множестве Х.

Доказательство
Проводится аналогично доказательству теоремы 1 (выполнить самостоятельно).

Слайд 14

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Пример: 4х < 32 ⇔ х < 8.

Слайд 15

Теорема 3. Если выражение t(х) определено при всех значениях х ∈Х

и отрицательно на Х, то неравенства
f(х) > g(х) и f(х) · t(х) < g(х) · t (х)
равносильны на множестве Х.

Доказательство
Проводится аналогично доказательству теоремы 1 (выполнить самостоятельно).

Слайд 16

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

то же отрицательное число и знак неравенства заменить на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Пример: - 4х < 32 ⇔ х > - 8.
Теорема 4. Неравенства 0 < f(х) < g(х) и 0 < <
равносильны друг другу.

Слайд 17

Линейные неравенства с одной переменной
Неравенство вида
ах > b
(ах < b,

ах ≥ b, ах ≤ b)
называется линейным неравенством с одной переменной.

Слайд 18

Если а > 0, то х > . Т =

] ; + ∞[.
Если а < 0, то х < . Т = ]− ∞; [.
- Если а = 0, то 0 · x > b. Тогда
а) при b ≥ 0 неравенство не имеет решений
(то есть Т = ∅),
б) при b < 0 неравенство верно для любого х
(то есть Т = R).

ах > b

Слайд 19

Примеры:
1) 2(х - 3) + 5(1 - х) ≥ 3(2х -

2х – 6 + 5 - 5х ≥ 6х – 15

-3х – 1 ≥ 6х – 15

-3х – 6х ≥ -15 + 1

-9х ≥ -14

х ≤

Ответ: ] − ∞; ].

Слайд 20

2)
24 – 20х < 9х – 6 – 4х +

24 – 20х < 5х + 4

- 25х < - 20

х > 0,8

Ответ: Т = ] 0,8; + ∞[.

(6 – 5х) ⋅ 4 < (3х – 2) ⋅ 3 – (2х – 5) ⋅ 2

Слайд 21

3) (2х – 3)2 – 8х < (5 – 2х)2
4х2

– 12х + 9 – 8х < 25 – 20х + 4х2

4х2 – 20х + 20х – 4х2 < 25 – 9

0 · х < 16

Ответ: Т = ]−∞; +∞[ или Т = R.

Слайд 22

4) (х + 2)3 – 3х3 < 2(1 – х)3 +

18х

х3 + 6х2 + 12х + 8 – 3х3 < 2 – 6х + 6х2 – 2х3 + 18х

- 2х3+ 6х2+ 12х + 2х3 - 6х2 – 12х < 2 – 8

0 · х < - 6

Ответ: Т = ∅.

(а ± b)3 =
а3 ± 3а2b + 3аb2 ± b3

Слайд 23

Рассмотрим неравенство
(х – а1)(х – а2)·…·(х – аn) > 0,
где а1

< а2 < … < аn

Метод интервалов

Слайд 24

Эти точки разбивают числовую ось на промежутки ]-∞; а1[, ]а1; а2[,…,]аn;

+∞[.
На каждом из этих промежутков выражение (х – а1)(х – а2)·…·(х – аn) имеет постоянный знак и меняет знак, когда меняет знак один из множителей, то есть в точках а1, а2,… аn.
Определяя знак выражения на каждом из промежутков, мы отбираем те из них, на которых это выражение положительно. Их объединение и является множеством решений неравенства.

Слайд 25

Пример: (х + 6)(х – 1)(х – 3)(х – 5) <

Ответ: ]- 6; 1[ ∪ ]3; 5 [

Слайд 26

(*)
Решение
1) Отмечают на числовой прямой все нули и точки разрыва функции

f(х), содержащейся в левой части неравенства (*).
Нули функции – значения переменной, при которых функция f(х) = 0.
Точки разрыва функции - значения переменной, при которых функция f(х) не определена.

Слайд 27

2) Определяют знак функции f(х) на каждом из промежутков.
Замечания: а) Если

с – наибольшее из чисел аi, bj, то в промежутке ]c; +∞[ функция f(х) > 0.
б) Если аi (bj) – такая точка, что показатель степени ni выражения (х - аi)ni есть число нечетное, то справа и слева от аi (bj) функция f(х) имеет противоположные знаки, аi (bj) – простая точка.
в) Если аi (bj) – такая точка, что показатель степени ni выражения (х - аi)ni есть число четное, то справа и слева от аi (bj) функция f(х) имеет одинаковые знаки, аi (bj) – двойная точка.

Слайд 28

3) Выбирают промежутки числовой оси в соответствии со знаком неравенства (*).

Объединение отобранных промежутков представляет собой решение неравенства (*).

Примеры: 1)

ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2)

Слайд 29

Если х ≠ 6, то
Ответ: [3; 6[ ∪ ]6; 7[.

Слайд 30

2)
Ответ: [-6; 0[ ∪ ]0; 1] ∪ [3; 7[.

Слайд 31

Графическое решение неравенств

Слайд 32

Графическое решение неравенств
с одной переменной
f(х) > g(х) (f(х) < g(х))
построить

графики функций у = f(х) и
у = g(х),
2) выбрать те промежутки оси Ох, на которых график функции у = f(х) расположен выше (ниже) графика функции у = g(х).

Слайд 33

Пример: х + 1 <
Ответ: ]−∞; -2[ ∪ ]0; 1[.

у = х + 1, у =

Слайд 34

Квадратное неравенство
Неравенство вида
ах2 + bх + с > 0
(ах2

+ bх + с < 0)
называется квадратным
(или неравенством второй степени).

Слайд 35

1) D = b2 – 4ас > 0
а) а > 0

ах2 + bх + с > 0
при х < х1 или х > х2;
ах2 + bх + с < 0
при х1 < х < х2.

б) а < 0
ах2 + bх + с > 0
при х1 < х < х2;
ах2 + bх + с < 0
при х < х1 или х > х2

Слайд 36

2) D = b2 – 4ас = 0
а) а > 0
ах2

+ bх + с > 0
для любого х ≠ ,
ах2 + bх + с < 0 при х ∈ ∅.

б) а < 0
ах2 + bх + с > 0 при х ∈ ∅,
ах2 + bх + с < 0
для любого х ≠ .

Слайд 37

3) D = b2 – 4ас < 0.
а) а > 0
ах2

+ bх + с > 0
для любого х ∈ R,
ах2 + bх + с < 0 при х ∈ ∅.

б) а < 0
ах2 + bх + с > 0 при х ∈ ∅,
ах2 + bх + с < 0
для любого х ∈ R.

Слайд 38

Квадратное неравенство можно решить и методом интервалов:
-
+
+
3) Определить знак квадратного трехчлена

на каждом из промежутков и выбрать промежутки со знаком «плюс».

1) разложить на множители квадратный трехчлен:
ах2 + bх + с > 0 ⇔ а(х – х1)(х – х2) > 0

Слайд 39

Пример: 2х2 – 5х – 3 > 0
1 способ
х1 =

-1/2, х2 = 3

Ответ: ]−∞; -1/2[ ∪ ]3; +∞[.

2 способ
2(х + )(х – 3) > 0.

Ответ: ]−∞; -1/2[ ∪ ]3; +∞[.

Слайд 40

Неравенства с двумя переменными

Слайд 41

Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая обращает

это неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений.

Пусть f(х,у) и g(х,у) – два выражения с двумя переменными.
Неравенство f(х, у) > g(х, у) (f(х, у) < g(х, у))
называется неравенством с двумя переменными.

Неравенство с двумя переменными может быть задано в виде f(х, у) > 0

Слайд 42

Пример: х – 3у < 10.
(8; 0), (5; 2) - решения

данного неравенства.

Выбрав значение одной переменной можно найти соответствующее ему значение другой переменной.

Слайд 43

С логической точки зрения:
Неравенством с двумя переменными называется двухместный предикат

f(х, у) > g(х, у)
(или f(х, у) > 0)
Множество решений неравенства с двумя переменными – это множество истинности данного предиката.

Неравенства с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений.
Для неравенств с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных неравенствах
(см. тему «Неравенства с одной переменной»).

Слайд 44

Рассмотрим неравенство с двумя переменными
f(х, у) > g(х, у) (или

f(х,у) > 0).

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых служат решениями данного неравенства.

Слайд 45