Объем тела, ограниченного поверхностями. (Лекция 2.2)

8) Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

9) Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

9.4 Замена переменных в двойном интеграле.

При переходе от переменных к переменным

Итак,
1) область заменяем на ;
2) - элемент площади в

9.5 Двойной интеграл в полярных координатах.
- полярный радиус.
- полярный

Связь декартовых и полярных координат:
Вычислим якобиан:
Двойной интеграл от функции по области

Элемент площади в полярных координатах вычисляется по формуле
т. е.

9.6 Примеры:

1) Полюс не содержится внутри области .

2) Полюс содержится внутри области .

.

3)
Введем полярные координаты
Уравнение границы примет вид
или
Тогда

.

4) Найти объем общей части шара радиуса с центром в начале

Из уравнения шара для верхней полусферы имеем .

9.7 Приложения двойных интегралов.

1) Масса плоской пластинки.
Поверхностная плотность
Элемент массы равен

2) Статические моменты инерции и центр тяжести пластинки.