Общие приемы решения олимпиадных задач

Сентябрь 3, 2022

Главная
Математика
Общие приемы решения олимпиадных задач

Содержание

2. Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. В качестве инварианта чаще
3. Сформулируем свойства четности: Сумма четных чисел четна Сумма 2-х нечетных чисел четна. Сумма четного и нечетного
4. Лемма1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых. Лемма2. Знак произведения нескольких
5. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
6. основная теорема арифметики: натуральное число раскладывается на произведение простых множителей единственным образом, с точностью до порядка
7. Признаки делимости Признак делимости на 2. Число n делится на 2 в том и только в
8. Признак делимости на 5. Число n делится на 5 в том и только в том случае,
9. Признак делимости на 11. Число n делится на 11 в том и только в том случае,
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом

преобразовании. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность и остаток от деления.
Причем, применение четности - одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач.

Инварианты

Слайд 3

Сформулируем свойства четности:
Сумма четных чисел четна
Сумма 2-х нечетных чисел четна.
Сумма четного

и нечетного чисел нечетна.
Произведение любого числа на четное – четно.
Если произведение нечетно, то все сомножители нечетны.
Сумма четного количества нечетных чисел четна.
Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.
Разность и сумма двух данных чисел – числа одной четности.
Если объекты можно разбить на пары, то их количество четно.

Четность

Слайд 4

Лемма1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных

слагаемых.
Лемма2. Знак произведения нескольких ( отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Слайд 5

Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей

стоить в сумме 53 рубля?
Можно ли 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.

ЗАДАЧИ

Слайд 6

основная теорема арифметики: натуральное число раскладывается на произведение простых множителей единственным

образом, с точностью до порядка множителей

Делимость

Слайд 7

Признаки делимости
Признак делимости на 2. Число n делится на 2 в

том и только в том случае, если его последняя цифра делится на 2.
Признак делимости на 4. Число n делится на 4 в том и только в том случае, если на 4 делится число, образованное из двух последних цифр числа n.
Признак делимости на 8. Число n делится на 8 в том и только в том случае, если на 8 делится трёхзначное число, образованное из трёх последних цифр числа n.
Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2,4,8, то можно найти
признак делимости на 2m(m=1,2,3,…): число n делится на 2m в том и только в том случае, если на 2m делится m-значное число, которое образуют m последних цифр числа n.

Слайд 8

Признак делимости на 5. Число n делится на 5 в том

и только в том случае, если его последняя цифра 0 или 5.
Признак делимости на 5m схож с признаком делимости числа n на 2m.
Признак делимости на 3. Число n делится на 3 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 9. Число n делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 7. Число n делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число p=n +3n +2n -(n +3n +n )+…,где n –последняя цифра числа n, n –предпоследняя цифра числа и так далее.

Слайд 9

Признак делимости на 11. Число n делится на 11 в том

и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, отличается от суммы его цифр, стоящих на чётных местах, на величину кратную 11.
(n + n + n +…)-( n +n + n +…) делится на 11, то число n делится на 11.
Признак делимости на 13. Число n делится на 13 в том и только в том случае, если на 13 делится число l, полученное из n зачёркиванием последней цифры и прибавлением к получённому числу учетверённое значения зачеркнутой цифры.
Комбинируя уже известные признаки делимости, можно узнать, делится ли данное число на 6, 10, 12, 14, 15 и так далее.