Определение производной

Июль 30, 2022

Главная
Математика
Определение производной

Содержание

2. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится
3. Обозначения производной: Нахождение производной функции называется дифференцированием. Если функция имеет конечную производную в некоторой точке, то
4. Примеры Для линейной функции y=kx+m мы доказали справедливость равенства lim∆y/∆x=k при∆x→0. Это означает, что (kx+m)′=k, в
5. Вернемся к рассматриваемым задачам. Из задачи о касательной вытекает Производная f ′ (x0) есть угловой коэффициент
6. Из задачи о скорости движения вытекает Производная пути по времени s′(t0) есть скорость точки в момент
7. Определение производной с точки зрения приближённых равенств Пусть функция y=f(x) имеет производную в некоторой точке x:
8. Алгоритм нахождения производной (для функции y = f(x))
9. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x. Тогда к графику функции в точке М(x;f(x)) можно провести
10. ТЕОРЕМА Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
12. Ответ: Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то
13. ПРИМЕР. График функции y=f(x) есть полуокружность. Найти f ′(x) в точках A,B,C,D,E, делящих полуокружность на четыре
15. Из геометрического смысла производной вытекает, что производная f ′ (x0) есть тангенс угла наклона касательной, проведенной
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Производной функции y=f(x)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
независимого аргумента,

когда
приращение аргумента стремится
к нулю:

Слайд 3

Обозначения производной:
Нахождение производной функции называется
дифференцированием.
Если функция имеет конечную производную в
некоторой

точке, то она называется
дифференцируемой в этой точке.

Слайд 4

Примеры
Для линейной функции y=kx+m мы доказали справедливость равенства lim∆y/∆x=k при∆x→0.

Это означает, что
(kx+m)′=k, в частности (x)′=1
Для y=x² справедливо равенство lim∆y/∆x=2x при∆x→0. Это означает, что
(x²)′=2x

Слайд 5

Вернемся к рассматриваемым задачам.
Из задачи о касательной вытекает
Производная f ′ (x0)

есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0 :
k = f ′ (x0)

геометрический смысл производной:

Слайд 6

Из задачи о скорости движения вытекает
Производная пути по времени s′(t0) есть

скорость точки в момент времени t0 :
v(tₒ) = s′(t0)

механический смысл производной:

Слайд 7

Определение производной с точки зрения приближённых равенств
Пусть функция y=f(x) имеет производную

в некоторой точке x:
lim∆y/∆x=f′(x) при∆x→0.
Это означает, что в достаточно малой окрестности точки x выполняется приближённое равенство
∆y/∆x≈f′(x), т.е. ∆y≈f′(x)∆x.
Приращение функции почти пропорционально приращению аргумента.

Слайд 8

Алгоритм нахождения производной (для функции y = f(x))

Слайд 9

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x. Тогда к графику

функции в точке М(x;f(x)) можно провести касательную, угловой коэффициент касательной равен f′(x). Такой график не может разрываться в точке M, т.е. функция обязана быть непрерывной в точке M.
Это рассуждения «на пальцах». Более строгое рассуждение. Если функция дифференцируема в точке x, то выполняется приближённое равенство ∆y≈f′(x)∆x. Если в этом равенстве ∆x→0, то ∆y→0, а это и есть условия непрерывности функции в точке.

Слайд 10

ТЕОРЕМА
Если функция y=f(x)
дифференцируема в точке x0,
то она непрерывна

в этой
точке.

Слайд 11

Слайд 12

Ответ:
Если в некоторой точке к графику функции можно провести

касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема.

Слайд 13

ПРИМЕР.
График функции y=f(x) есть полуокружность.
Найти f ′(x) в точках A,B,C,D,E,

делящих
полуокружность на четыре равные части.

Слайд 14

Слайд 15

Из геометрического смысла производной вытекает, что производная f ′ (x0) есть

тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0 .

В точке В угол наклона касательной составляет 450. Следовательно:

В точке D угол наклона касательной составляет 1350. Следовательно:

Определение производной

Содержание

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращениюнезависимого аргумента,

Обозначения производной:Нахождение производной функции называетсядифференцированием.Если функция имеет конечную производную в некоторой

ПримерыДля линейной функции y=kx+m мы доказали справедливость равенства lim∆y/∆x=k при∆x→0.

Вернемся к рассматриваемым задачам.Из задачи о касательной вытекаетПроизводная f ′ (x0)

Из задачи о скорости движения вытекаетПроизводная пути по времени s′(t0) есть

Определение производной с точки зрения приближённых равенствПусть функция y=f(x) имеет производную