Параллельность прямых и плоскостей

Июль 24, 2022

Главная
Математика
Параллельность прямых и плоскостей

Содержание

2. Аксиомы стереометрии α A B C A1 A B α A2 A3 α β l L
3. Следствия из аксиом Следствие 1 Следствие 2 α α A а b Способы задания плоскостей α
4. Задание 1: определите, сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? 1) 3) 2) 5) 4) 6)
5. Взаимное расположение прямых 1. Совпадают b 2. Пересекаются а а а а b b b М
6. Задание 2: выясните взаимное расположение прямых (основания – трапеции, боковые грани – параллелограммы) А1 А D1
7. Взаимное расположение прямой и плоскости α α α а а ⊂ α а М а ∩
8. Важные теоремы, связанные с параллельностью прямой и плоскости α β c т а||β а ⊂α α∩β=т
9. β Взаимное расположение плоскостей 1) 2) α α β М т 3) α β Определение. Две
10. Параллельные плоскости в современной архитектуре Параллельные плоскости и прямые создают жесткие связи-каркасы, также обеспечивают равномерное распределение
11. Параллельные плоскости в технике Параллельные плоскости «летают»
12. Признак параллельности двух плоскостей Дано: а∩ b = M, a ⊂ α, b ⊂ α a₁
13. Задача 1 Дано: α||β т⊂α Доказать: т||β Доказательство: Предположим, что т пересекает β в некоторой точке
14. Задача 2 (ещё один признак параллельности плоскостей!) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости,
15. Задача 3 Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.
16. Задача 4 В тетраэдре АВСД точки K, L, M – середины сторон АВ, АС, АД соответственно.
17. Проверь себя:
18. Задача 5 В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка М – середина А1В1, N – середина В1С1, К –
19. Домашнее задание: П.10; № 51, 54, 55 (записать решение), задача №5; доказать самостоятельно «Если две плоскости
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Аксиомы стереометрии
α
A
B
C
A1
A
B
α
A2
A3
α
β
l
L

Слайд 3

Следствия из аксиом
Следствие 1
Следствие 2
α
α
A
а
b
Способы задания плоскостей
α
α
α
α
А
a
a
b
b
a
А
С
В

Слайд 4

Задание 1:
определите, сколько плоскостей
можно провести через выделенные элементы?
1)
3)
2)
5)
4)
6)

Слайд 5

Взаимное расположение прямых
1. Совпадают
b
2. Пересекаются
а
а
а
а
b
b
b
М
а∩b=M
a||b
Признаки!
3. Не пересекаются,
лежат в одной плоскости
4.

Не пересекаются,
лежат в разных плоскостях

аи b скрещивающиеся
Признак!

α

α

β

α

Слайд 6

Задание 2:
выясните взаимное расположение прямых
(основания – трапеции, боковые грани – параллелограммы)
А1
А
D1
С1
В1
С
В
D
М
К
ВС

и ДС
АВ и А1В1
АА1 и СС1
МК и С1Д1
АВ и СС1

АВ и ДС
СВ и С1В1
ВС и А1Д1
МК и СД
СД и АА1

пересекаются

параллельны

параллельны

пересекаются

скрещивающиеся

Слайд 7

Взаимное расположение
прямой и плоскости
α
α
α
а
а ⊂ α
а
М
а ∩ α=М
а
а||α (α||а)
Признак!

Слайд 8

Важные теоремы, связанные
с параллельностью прямой и плоскости
α
β
c
т
а||β
а ⊂α
α∩β=т
а||т
1)
2)
α
β
а||b
а⊂α
b⊂β
α∩β=с
с||а
с||b
а
b
а
3)
α
β
c
т
т||α
т||β
α∩β=с
т||с

Слайд 9

β
Взаимное расположение плоскостей
1)
2)
α
α
β
М
т
3)
α
β
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

Слайд 10

Параллельные плоскости в современной архитектуре
Параллельные плоскости и прямые создают жесткие связи-каркасы,

также обеспечивают равномерное распределение нагрузки

Слайд 11

Параллельные плоскости в технике
Параллельные плоскости «летают»

Слайд 12

Признак параллельности двух плоскостей
Дано:
а∩ b = M, a ⊂ α,

b ⊂ α
a₁ ⊂ β, b₁ ⊂ β
a || a₁, b || b₁

Доказать:α || β

β

α

а

а₁

b

b₁

M

c

Доказательство: (от противного)

1) а||β
а ⊂α
α∩β=c

а||с

2) b||β
b ⊂α
α∩β=c

b||c

Предположим, что α и β не параллельны. Тогда они пересекутся по некоторой прямой с.

3) а||с
b||с

а||b

, что противоречит условию

Если

две пересекающиеся прямые одной плоскости

соответственно параллельны

двум прямым другой плоскости,

то эти плоскости параллельны

Слайд 13

Задача 1
Дано:
α||β
т⊂α
Доказать:
т||β
Доказательство:
Предположим, что т пересекает β в некоторой точке М.
Тогда

точка М принадлежит и плоскости β,
и плоскости α (так как точка М лежит на прямой т,
лежащей в плоскости α). Но это невозможно ,
поскольку по условию плоскости α и β параллельны.
Значит прямая т параллельна плоскости β.

α

β

т

М

Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α. Докажите, что прямая т параллельна плоскости β

Слайд 14

Задача 2 (ещё один признак параллельности плоскостей!)
Если две пересекающиеся прямые

одной плоскости параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны

Дано:
т∩п=М
т⊂α
п⊂α
т||β
п||β
Доказать:
α||β

Доказательство:

с

т

п

М

α

β

Слайд 15

Задача 3 Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и

третья сторона параллельна плоскости α.

Дано:
ΔАВС
АВ||α
ВС||α
Доказать:
АС||α

Доказательство:

β

С

В

А

α

Для доказательства используем задачи 2 и 1

Слайд 16

Задача 4 В тетраэдре АВСД точки K, L, M – середины

сторон АВ, АС, АД соответственно. Докажите, что плоскости KLM и ВСД параллельны

Дано:
АВСД – тетраэдр
К – середина АВ
L – середина АС
М – середина АД
Доказать:
KLM || ВСД

Доказательство:

Д

В

С

А

К

М

L

Для доказательства используем
признак параллельности плоскостей:
1)
2)
3)

Слайд 17

Проверь себя:

Слайд 18

Задача 5 В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка М – середина А1В1,
N –

середина В1С1, К – середина АД, Р – середина ДС. Определите взаимное расположение плоскостей:

Р

А

С

Д1

С1

В1

В

А1

К

N

Д

М

MNK и MNP
A1B1C1 и ADC
MKP и ВВ1Д
Д1КР и BMN
A1DC1 и АВ1С
АСС1 и МКР

Слайд 19

Домашнее задание:
П.10; № 51, 54, 55 (записать решение), задача №5; доказать

самостоятельно «Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой»